MAT 考試由劍橋大學(xué)招生考試服務(wù)中心與牛津大學(xué)合作推出的數(shù)學(xué)系入學(xué)考試，其全稱(chēng)為 The Mathematics Admissions Test。該考試主要針對(duì)牛津大學(xué)數(shù)學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)相關(guān)專(zhuān)業(yè)，以及倫敦帝國(guó)理工學(xué)院和華威大學(xué)數(shù)學(xué)相關(guān)專(zhuān)業(yè)的申請(qǐng)人。
MAT 考試一般于每年的 9 月開(kāi)始報(bào)名、10 月中旬報(bào)名截止、11 月初考試。其考試成績(jī)不會(huì)被直接公布或標(biāo)記是否“通過(guò)”，而是直接發(fā)往考生注冊(cè)考試時(shí)填寫(xiě)的申請(qǐng)?jiān)盒＃鶕?jù)測(cè)試中的相關(guān)信息來(lái)確定是否入圍。
可以說(shuō)，MAT 成績(jī)的高低是牛津大學(xué)篩選面試學(xué)生和確認(rèn)最終錄取名單的重要衡量標(biāo)準(zhǔn)。
策略性問(wèn)題雖然在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中比較冷門(mén)，但這類(lèi)問(wèn)題憑借在經(jīng)濟(jì)金融學(xué)領(lǐng)域的重要地位，在諸多名校的自主招生考試中十分常見(jiàn)。
今天，讓我們一起跟隨犀牛國(guó)際教育張凡老師一起深度解析 MAT 考試中的策略性問(wèn)題該如何思考作答！
雖然策略性問(wèn)題在自主招生考試中扮演著十分重要的角色，但有趣的是，這類(lèi)問(wèn)題并不總是直接了當(dāng)?shù)乇砻髯约菏遣呗灶?lèi)問(wèn)題，而是悄悄把自己偽裝好等待你的發(fā)現(xiàn)。
下面，我們來(lái)通過(guò)幾道真題詳細(xì)為大家展開(kāi)講解，比如 2022 年 MAT 中的第 5 題壓軸題??
本題除了最后一問(wèn)之外，其他小問(wèn)都是構(gòu)造問(wèn)題。類(lèi)似于小學(xué)競(jìng)賽中找到有一種情況滿足題意。
而最后一問(wèn)就非常有趣了，題意大致可以整理如下??
Q：有六扇門(mén)一字排列，門(mén)后有六個(gè)不同的禮物。Alice 每次可以選擇一扇門(mén)打開(kāi)，并看到某一件禮物。每看到一件禮物之后，主持人都會(huì)把 Alice 看到的禮物和旁邊一扇門(mén)后的禮物交換位置。最終凡是被 Alice 看見(jiàn)的禮物都會(huì)送給 Alice。如果 Alice 能選擇開(kāi)門(mén)的次數(shù)不受限制。那么 Alice 能否確保拿走所有禮物？
如果只是將本題當(dāng)作一道數(shù)論或者組合的常規(guī)題目，那無(wú)疑會(huì)讓你頭疼不已，因?yàn)檫@個(gè)問(wèn)題其實(shí)是一道策略博弈問(wèn)題。而且游戲的參與者除了 Alice 之外，還有主持人。事實(shí)上，Alice 無(wú)法確保拿到 3、4 號(hào)門(mén)之一后面的禮物。
我們把主持人也當(dāng)作游戲的參與者，那么如果 Alice 選擇在 1、2 中開(kāi)門(mén)，主持人只需交換 1、2 門(mén)后禮物的位置，選擇 5、6 同理。如果在 3、4 號(hào)門(mén)中，Alice 先選擇了 3 號(hào)門(mén)，此時(shí)我們可以假定主持人能夠看穿 Alice 后面的所有選擇。
如果忽略掉 Alice 選 1、2、5、6的情形（若選了按上述操作執(zhí)行即可），若下一次 Alice 選擇中間兩扇門(mén)時(shí)將會(huì)選 3 號(hào)門(mén)，那本次 4 號(hào)門(mén)位置不變；若下一次 Alice 選擇中間兩扇門(mén)中的 4 號(hào)門(mén)，那本此把 3、4 號(hào)門(mén)后的禮物調(diào)換。后面情況以此類(lèi)推，主持人可以保證 Alice 永遠(yuǎn)拿不到 4 號(hào)門(mén)后的禮物。
因此，Alice 永遠(yuǎn)無(wú)法確保拿到六扇門(mén)后面的所有禮物。
本題的難點(diǎn)在于辨認(rèn)出這是一道必勝策略問(wèn)題而非數(shù)論組合問(wèn)題。一旦發(fā)現(xiàn)它的本來(lái)面目，那么解決這個(gè)問(wèn)題就變得非常簡(jiǎn)單。
突破牛劍 G5 防線第二步
敏銳準(zhǔn)確看“本質(zhì)”
但有時(shí)，我們要發(fā)現(xiàn)策略問(wèn)題其實(shí)是一道數(shù)論組合問(wèn)題，比如清華大學(xué) 10 年的自主招生考察了這樣一道題目??
Q：比賽開(kāi)始后，12 個(gè)人每人的頭上將會(huì)帶一頂帽子。這些帽子分別是紅、黃、紫、藍(lán)四種顏色之一。每個(gè)人能看到別人頭上帽子的顏色，而看不到自己頭上帽子的顏色。比賽開(kāi)始前，12 個(gè)人可以商量出一種策略，以保證比賽開(kāi)始后，12 個(gè)人可以依次說(shuō)出自己頭上帽子的顏色，并盡量讓每個(gè)人都說(shuō)對(duì)的概率最大。請(qǐng)問(wèn)這個(gè)最大值是多少？
本題看似是一個(gè)策略問(wèn)題，但其實(shí)是一道數(shù)論問(wèn)題。
由于第一個(gè)人報(bào)顏色的時(shí)候沒(méi)有任何其他信息，所以他說(shuō)對(duì)的概率就是 1/4，因此可以推斷出全部說(shuō)對(duì)的概率不會(huì)超過(guò) 1/4。
我們可以把 4 種顏色看作是摸 4 的四個(gè)余數(shù) 0、1、2、3。紅對(duì)應(yīng) 0，黃對(duì)應(yīng) 1，紫對(duì)應(yīng) 2，藍(lán)對(duì)應(yīng) 3。
讓第一個(gè)人報(bào)出其他十一個(gè)人帽子上數(shù)字加和除以 4 的余數(shù)。除了第一個(gè)人之外，所有人都能看到第一個(gè)人帽子的顏色。于是剩余的 11 個(gè)人都能知道 12 個(gè)人帽子上數(shù)字的總和除以 4 的余數(shù)，再加上他們本來(lái)就能看到的除了自己之外其他人帽子上數(shù)字總和除以 4 所得的余數(shù)。因此，就可以推出自己帽子上的數(shù)字，進(jìn)而知道自己帽子的顏色。
所以，本題其實(shí)是一道由數(shù)論知識(shí)尋找最優(yōu)策略的問(wèn)題，該題的結(jié)果是 1/4。
北上家長(zhǎng)都在“卷”的數(shù)學(xué)競(jìng)賽
究竟為哪般？
許多高校的入?？荚嚩紵嶂杂诳疾觳呗灶?lèi)的問(wèn)題。不僅因?yàn)椴呗灶?lèi)問(wèn)題是能夠開(kāi)發(fā)智力的邏輯游戲，更因?yàn)椴┺睦碚撃芙忉屢恍┯腥ど鐣?huì)現(xiàn)象背后的原理，也是經(jīng)濟(jì)學(xué)的重要基礎(chǔ)之一。
比如博弈論就可以解釋北京上海的數(shù)學(xué)競(jìng)賽為什么這么火。要搞清楚這個(gè)問(wèn)題，首先就要搞清楚為什么這么多家長(zhǎng)會(huì)選擇報(bào)奧數(shù)班。
從經(jīng)驗(yàn)上看，別的家長(zhǎng)是否報(bào)名競(jìng)賽班是否會(huì)對(duì)你的決策產(chǎn)生影響，這可以看作是一個(gè)多人博弈的問(wèn)題。但是為了簡(jiǎn)化起見(jiàn)，我們假設(shè)兩個(gè)家長(zhǎng) A、B 作為博弈的參與者，人大附中要選擇這兩個(gè)家長(zhǎng)之一的孩子入學(xué)。
我們假設(shè)兩個(gè)孩子的天分是完全一樣的。如果一方報(bào)班，另一方不報(bào)班，那么報(bào)班的必然被錄取。如果雙方同時(shí)報(bào)班，或同時(shí)不報(bào)班，則各有百分之五十的概率被錄取。
由此，我們可以寫(xiě)出這個(gè)博弈的效應(yīng)矩陣：如果 A 報(bào)班，B 不報(bào)班，那么 A 孩子被錄取收獲效用 1，B 收獲效用 0。如果 B 報(bào) A 不報(bào)，那么 B 收獲效用 1，A 收獲效用 0。
如果 A、B 都不報(bào)班，那么各有百分之五十的概率被錄取，各收獲效用 0.5。如果 A、B 都報(bào)班，由于報(bào)奧賽班要花很多的錢(qián)和時(shí)間，所以各收獲效用變少假設(shè)為 0.1。
以上思路可整理為下圖所示：（圖中每個(gè)方格里兩個(gè)數(shù)字，左面是 A 獲得的效用，右面是 B 獲得的效用）
在 A 選擇報(bào)班的情況下，若 B 選擇報(bào)班，則收獲 0.1，選不報(bào)班，則收獲 0，于是我們?cè)诘谝涣挟?dāng)中選擇右側(cè)的 0.1 下面畫(huà)紫線。在 A 選擇不報(bào)班的情況下，B 選擇報(bào)班，則收獲 1，選擇不報(bào)班收獲 0.5。因?yàn)?1 更大，所以我們?cè)诘诙蟹礁裰杏覀?cè)的 1 下面畫(huà)紫線。
同樣的，我們假設(shè) B 選擇報(bào)班或不報(bào)班，觀察 A 獲得的效用，可以畫(huà)出 A 對(duì)應(yīng)的選擇。
顯然，只有當(dāng)某一方格中兩個(gè)數(shù)字下面都畫(huà)了線，A、B 才沒(méi)有改變自身策略的動(dòng)機(jī)。觀察矩陣圖不難發(fā)現(xiàn)，只有 A、B 都選擇報(bào)班，這個(gè)博弈才處于穩(wěn)定狀態(tài)。其它情形都至少有一方會(huì)主動(dòng)改變自身策略。
因此，哪怕如果 A、B 選擇都不報(bào)班能獲得比都報(bào)班更高的效用（都不報(bào)班雙方都獲得 0.5，都不報(bào)班雙方都獲得 0.1），也就是說(shuō) A、B 都不報(bào)班，雙方都能過(guò)得更好，但 A 和 B 兩位家長(zhǎng)也會(huì)毅然決然地選擇內(nèi)卷，這就是北京上海奧數(shù)班為什么這么火的原因。
通過(guò)以上的舉例講解，張老師想問(wèn)下大家：你可以用博弈論的方法解釋一下為什么笨鳥(niǎo)先飛嗎？
犀牛國(guó)際教育 數(shù)學(xué)競(jìng)賽高級(jí)教師
● 畢業(yè)于北京大學(xué)物理學(xué)院，天文系專(zhuān)業(yè)。
● 高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽選手，河北省第 8 名，北方六省 35 名。
● 深入了解國(guó)際課程體系，教學(xué)功底扎實(shí)，對(duì)于國(guó)際競(jìng)賽和國(guó)際課程有豐富的授課經(jīng)驗(yàn)。
● 多年國(guó)際數(shù)學(xué)課程的授課經(jīng)驗(yàn)，小初高數(shù)學(xué)競(jìng)賽，國(guó)學(xué)，以及用數(shù)分線代概統(tǒng)解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題。
— 教學(xué)方法 —
● 在闡述公理的基礎(chǔ)上用嚴(yán)密的邏輯和扎實(shí)的推理為學(xué)生搭建學(xué)科主干，然后用高難度高強(qiáng)度的問(wèn)題逐一單點(diǎn)爆破，實(shí)現(xiàn)思維能力的提升。
— 教學(xué)成果 —
● 多次在高中常規(guī)數(shù)學(xué)的教學(xué)中拿到第 1 名的成績(jī)。
● 在綿陽(yáng)東辰擔(dān)任數(shù)學(xué)競(jìng)賽教練，教數(shù)論和組合兩大板塊，多名學(xué)生在高一時(shí)已經(jīng)達(dá)到省隊(duì)水平。
— 教授科目 —
● 數(shù)學(xué)競(jìng)賽 AMC10 、AMC12、AIME、MAT、STEP、HMMT、DMM、HIMCM、丘成桐
