MAT 考試由劍橋大學(xué)招生考試服務(wù)中心與牛津大學(xué)合作推出的數(shù)學(xué)系入學(xué)考試，其全稱為 The Mathematics Admissions Test。該考試主要針對牛津大學(xué)數(shù)學(xué)、計算機(jī)科學(xué)相關(guān)專業(yè)，以及倫敦帝國理工學(xué)院和華威大學(xué)數(shù)學(xué)相關(guān)專業(yè)的申請人。
MAT 考試一般于每年的 9 月開始報名、10 月中旬報名截止、11 月初考試。其考試成績不會被直接公布或標(biāo)記是否“通過”，而是直接發(fā)往考生注冊考試時填寫的申請院校，根據(jù)測試中的相關(guān)信息來確定是否入圍。
可以說，MAT 成績的高低是牛津大學(xué)篩選面試學(xué)生和確認(rèn)最終錄取名單的重要衡量標(biāo)準(zhǔn)。
策略性問題雖然在數(shù)學(xué)競賽中比較冷門，但這類問題憑借在經(jīng)濟(jì)金融學(xué)領(lǐng)域的重要地位，在諸多名校的自主招生考試中十分常見。
今天，讓我們一起跟隨犀牛國際教育張凡老師一起深度解析 MAT 考試中的策略性問題該如何思考作答！
雖然策略性問題在自主招生考試中扮演著十分重要的角色，但有趣的是，這類問題并不總是直接了當(dāng)?shù)乇砻髯约菏遣呗灶悊栴}，而是悄悄把自己偽裝好等待你的發(fā)現(xiàn)。
下面，我們來通過幾道真題詳細(xì)為大家展開講解，比如 2022 年 MAT 中的第 5 題壓軸題??
本題除了最后一問之外，其他小問都是構(gòu)造問題。類似于小學(xué)競賽中找到有一種情況滿足題意。
而最后一問就非常有趣了，題意大致可以整理如下??
Q：有六扇門一字排列，門后有六個不同的禮物。Alice 每次可以選擇一扇門打開，并看到某一件禮物。每看到一件禮物之后，主持人都會把 Alice 看到的禮物和旁邊一扇門后的禮物交換位置。最終凡是被 Alice 看見的禮物都會送給 Alice。如果 Alice 能選擇開門的次數(shù)不受限制。那么 Alice 能否確保拿走所有禮物？
如果只是將本題當(dāng)作一道數(shù)論或者組合的常規(guī)題目，那無疑會讓你頭疼不已，因為這個問題其實是一道策略博弈問題。而且游戲的參與者除了 Alice 之外，還有主持人。事實上，Alice 無法確保拿到 3、4 號門之一后面的禮物。
我們把主持人也當(dāng)作游戲的參與者，那么如果 Alice 選擇在 1、2 中開門，主持人只需交換 1、2 門后禮物的位置，選擇 5、6 同理。如果在 3、4 號門中，Alice 先選擇了 3 號門，此時我們可以假定主持人能夠看穿 Alice 后面的所有選擇。
如果忽略掉 Alice 選 1、2、5、6的情形（若選了按上述操作執(zhí)行即可），若下一次 Alice 選擇中間兩扇門時將會選 3 號門，那本次 4 號門位置不變；若下一次 Alice 選擇中間兩扇門中的 4 號門，那本此把 3、4 號門后的禮物調(diào)換。后面情況以此類推，主持人可以保證 Alice 永遠(yuǎn)拿不到 4 號門后的禮物。
因此，Alice 永遠(yuǎn)無法確保拿到六扇門后面的所有禮物。
本題的難點在于辨認(rèn)出這是一道必勝策略問題而非數(shù)論組合問題。一旦發(fā)現(xiàn)它的本來面目，那么解決這個問題就變得非常簡單。
突破牛劍 G5 防線第二步
敏銳準(zhǔn)確看“本質(zhì)”
但有時，我們要發(fā)現(xiàn)策略問題其實是一道數(shù)論組合問題，比如清華大學(xué) 10 年的自主招生考察了這樣一道題目??
Q：比賽開始后，12 個人每人的頭上將會帶一頂帽子。這些帽子分別是紅、黃、紫、藍(lán)四種顏色之一。每個人能看到別人頭上帽子的顏色，而看不到自己頭上帽子的顏色。比賽開始前，12 個人可以商量出一種策略，以保證比賽開始后，12 個人可以依次說出自己頭上帽子的顏色，并盡量讓每個人都說對的概率最大。請問這個最大值是多少？
本題看似是一個策略問題，但其實是一道數(shù)論問題。
由于第一個人報顏色的時候沒有任何其他信息，所以他說對的概率就是 1/4，因此可以推斷出全部說對的概率不會超過 1/4。
我們可以把 4 種顏色看作是摸 4 的四個余數(shù) 0、1、2、3。紅對應(yīng) 0，黃對應(yīng) 1，紫對應(yīng) 2，藍(lán)對應(yīng) 3。
讓第一個人報出其他十一個人帽子上數(shù)字加和除以 4 的余數(shù)。除了第一個人之外，所有人都能看到第一個人帽子的顏色。于是剩余的 11 個人都能知道 12 個人帽子上數(shù)字的總和除以 4 的余數(shù)，再加上他們本來就能看到的除了自己之外其他人帽子上數(shù)字總和除以 4 所得的余數(shù)。因此，就可以推出自己帽子上的數(shù)字，進(jìn)而知道自己帽子的顏色。
所以，本題其實是一道由數(shù)論知識尋找最優(yōu)策略的問題，該題的結(jié)果是 1/4。
北上家長都在“卷”的數(shù)學(xué)競賽
究竟為哪般？
許多高校的入?？荚嚩紵嶂杂诳疾觳呗灶惖膯栴}。不僅因為策略類問題是能夠開發(fā)智力的邏輯游戲，更因為博弈理論能解釋一些有趣社會現(xiàn)象背后的原理，也是經(jīng)濟(jì)學(xué)的重要基礎(chǔ)之一。
比如博弈論就可以解釋北京上海的數(shù)學(xué)競賽為什么這么火。要搞清楚這個問題，首先就要搞清楚為什么這么多家長會選擇報奧數(shù)班。
從經(jīng)驗上看，別的家長是否報名競賽班是否會對你的決策產(chǎn)生影響，這可以看作是一個多人博弈的問題。但是為了簡化起見，我們假設(shè)兩個家長 A、B 作為博弈的參與者，人大附中要選擇這兩個家長之一的孩子入學(xué)。
我們假設(shè)兩個孩子的天分是完全一樣的。如果一方報班，另一方不報班，那么報班的必然被錄取。如果雙方同時報班，或同時不報班，則各有百分之五十的概率被錄取。
由此，我們可以寫出這個博弈的效應(yīng)矩陣：如果 A 報班，B 不報班，那么 A 孩子被錄取收獲效用 1，B 收獲效用 0。如果 B 報 A 不報，那么 B 收獲效用 1，A 收獲效用 0。
如果 A、B 都不報班，那么各有百分之五十的概率被錄取，各收獲效用 0.5。如果 A、B 都報班，由于報奧賽班要花很多的錢和時間，所以各收獲效用變少假設(shè)為 0.1。
以上思路可整理為下圖所示：（圖中每個方格里兩個數(shù)字，左面是 A 獲得的效用，右面是 B 獲得的效用）
在 A 選擇報班的情況下，若 B 選擇報班，則收獲 0.1，選不報班，則收獲 0，于是我們在第一列當(dāng)中選擇右側(cè)的 0.1 下面畫紫線。在 A 選擇不報班的情況下，B 選擇報班，則收獲 1，選擇不報班收獲 0.5。因為 1 更大，所以我們在第二列方格中右側(cè)的 1 下面畫紫線。
同樣的，我們假設(shè) B 選擇報班或不報班，觀察 A 獲得的效用，可以畫出 A 對應(yīng)的選擇。
顯然，只有當(dāng)某一方格中兩個數(shù)字下面都畫了線，A、B 才沒有改變自身策略的動機(jī)。觀察矩陣圖不難發(fā)現(xiàn)，只有 A、B 都選擇報班，這個博弈才處于穩(wěn)定狀態(tài)。其它情形都至少有一方會主動改變自身策略。
因此，哪怕如果 A、B 選擇都不報班能獲得比都報班更高的效用（都不報班雙方都獲得 0.5，都不報班雙方都獲得 0.1），也就是說 A、B 都不報班，雙方都能過得更好，但 A 和 B 兩位家長也會毅然決然地選擇內(nèi)卷，這就是北京上海奧數(shù)班為什么這么火的原因。
通過以上的舉例講解，張老師想問下大家：你可以用博弈論的方法解釋一下為什么笨鳥先飛嗎？
犀牛國際教育 數(shù)學(xué)競賽高級教師
● 畢業(yè)于北京大學(xué)物理學(xué)院，天文系專業(yè)。
● 高中數(shù)學(xué)競賽選手，河北省第 8 名，北方六省 35 名。
● 深入了解國際課程體系，教學(xué)功底扎實，對于國際競賽和國際課程有豐富的授課經(jīng)驗。
● 多年國際數(shù)學(xué)課程的授課經(jīng)驗，小初高數(shù)學(xué)競賽，國學(xué)，以及用數(shù)分線代概統(tǒng)解決現(xiàn)實問題。
— 教學(xué)方法 —
● 在闡述公理的基礎(chǔ)上用嚴(yán)密的邏輯和扎實的推理為學(xué)生搭建學(xué)科主干，然后用高難度高強(qiáng)度的問題逐一單點爆破，實現(xiàn)思維能力的提升。
— 教學(xué)成果 —
● 多次在高中常規(guī)數(shù)學(xué)的教學(xué)中拿到第 1 名的成績。
● 在綿陽東辰擔(dān)任數(shù)學(xué)競賽教練，教數(shù)論和組合兩大板塊，多名學(xué)生在高一時已經(jīng)達(dá)到省隊水平。
— 教授科目 —
● 數(shù)學(xué)競賽 AMC10 、AMC12、AIME、MAT、STEP、HMMT、DMM、HIMCM、丘成桐
