絕對(duì)值方程成為了近年來(lái)SAT常常會(huì)考到的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)。那么接下來(lái)我們一起來(lái)回顧一下SAT中解絕對(duì)值方程常用的三種方法。

　　方法一：代數(shù)意義法

　　我們知道，非負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)。這是絕對(duì)值的代數(shù)意義。

　　當(dāng)a≥0時(shí)，︱a︱=a;

　　當(dāng)a<0時(shí)，︱a︱=-a。

　　對(duì)于形如︱ax +b︱=c的絕對(duì)值方程，我們可以根據(jù)代數(shù)意義去絕對(duì)值，分類(lèi)討論，進(jìn)行求解。

　　20.(2020.12 亞太)What is the sum of the solutions to the given equation?

　　︱x - 4︱= 2

　　對(duì)于此題，我們可以根據(jù)絕對(duì)值內(nèi)表達(dá)式的正負(fù)，進(jìn)行分類(lèi)討論。

　　當(dāng)x – 4 ≥ 0，即x ≥ 4時(shí)，

　　去掉絕對(duì)值，有x – 4 = 2，

　　解得x = 6，滿(mǎn)足這種情況下的限制條件x ≥ 4，

　　故x = 6是一個(gè)解;

　　當(dāng)x – 4<0，即x<4時(shí)，

　　去掉絕對(duì)值，有 –(x – 4) = 2，

　　解得x =2，滿(mǎn)足這種情況下的限制條件x<4，

　　故x = 2是另一個(gè)解。

　　2 + 6 = 8，故此題正確答案為8。

　　18.(2021.05 亞太)

　　︱x+3︱= 0

　　Exactly how many solutions does the given equation have?

　　A) Zero

　　B) One

　　C) Two

　　D) Three

　　類(lèi)似的，當(dāng)x + 3 ≥ 0，即x ≥ –3時(shí)，

　　去掉絕對(duì)值，有x + 3 = 0，

　　解得x = –3，滿(mǎn)足這種情況下的限制條件x ≥ –3，

　　故x = –3是一個(gè)解;

　　當(dāng)x + 3 < 0，即x < –3時(shí)，

　　去掉絕對(duì)值，有–(x + 3) = 0，

　　解得x = –3不滿(mǎn)足這種情況下的限制條件x < –3，

　　此情況舍去。

　　綜上此方程有一個(gè)解x = –3，故此題選B。

　　方法二：幾何意義法

　　數(shù)軸上，表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離為數(shù)a的絕對(duì)值，記作︱a︱。|a-b|或|b-a|代表數(shù)軸上點(diǎn)a和點(diǎn)b之間的距離。

　　我們也可以用絕對(duì)值的幾何意義求解上一題。題目問(wèn)︱x+3︱= 0有多少個(gè)解，也就是問(wèn)數(shù)軸上，有幾個(gè)點(diǎn)到–3這一點(diǎn)的距離是0。由圖可知，只有–3這個(gè)點(diǎn)本身在數(shù)軸上到–3的距離是0，故此題只有一個(gè)解x = –3。

　　方法三：平方法

　　通過(guò)將等式兩邊同時(shí)平方，我們也可以去絕對(duì)值。

　　10.(2021.05 亞太)

　　︱x + 2︱=︱x – 8︱

　　What is the solution to the given equation?

　　A) –6

　　B) –3

　　C) 3

　　D) 6

　　我們將等式兩邊同時(shí)平方

　　故此題的解為x = 3，選C。