AP微積分備考指南
AP微積分的魅力還是其內(nèi)容本身，作為一門(mén)要求高中生在進(jìn)入大學(xué)之前完成的預(yù)修科目來(lái)說(shuō)，它很好得在知識(shí)廣度與知識(shí)深度之間做到了平衡 。
在知識(shí)結(jié)構(gòu)和邏輯上AP的微積分和我們國(guó)內(nèi)高校的微積分體系相似度是最高的；其次AP微積分在對(duì)知識(shí)深度的把控上也是比較到位的，大部分題目的考察深度都不會(huì)很大，使得大家能順利學(xué)到微積分的重要思想與一些應(yīng)用場(chǎng)景。以下是邀請(qǐng)犀牛宋老師針對(duì)AP微積分特點(diǎn)進(jìn)行疫情下的備考策略分析 。
No.1
7天復(fù)習(xí)重點(diǎn)
首先講一下宏觀的一些學(xué)習(xí)方法與建議。
考前抓住三基，基本知識(shí)、基本技能、基本方法： 大家在平時(shí)的學(xué)習(xí)中可以適當(dāng)拓展補(bǔ)充一些有用的技巧和知識(shí)點(diǎn)，但是大考前還是要以基礎(chǔ)為主，AP是給全球的美高體系學(xué)生考的，不至于為了針對(duì)中國(guó)學(xué)生把難度一下子拉高（雖然這幾年是有微微提高的趨勢(shì)，由此可見(jiàn)老外也在卷）。
認(rèn)真對(duì)待真題： 任何考試不管是體制內(nèi)的中高考（不少人應(yīng)該聽(tīng)到過(guò)五年高考三年模擬這個(gè)詞），AP考試，IB考試，考前都要吃透真題，因?yàn)檎骖}充分體現(xiàn)了命題組對(duì)大綱的把握對(duì)課程目標(biāo)的理解，因此大家不僅要多做真題，也要學(xué)會(huì)整理錯(cuò)題舉一反三，甚至二刷三刷。
注重計(jì)算： 可以看到整張?jiān)嚲矸怯?jì)算器部分的分值占比是遠(yuǎn)高于計(jì)算器部分的，而且在15個(gè)calculator allowed的選擇題中有幾個(gè)題目依舊需要大家手動(dòng)計(jì)算。眼睛看會(huì)不代表你真的會(huì)做，很多同學(xué)都有這樣的習(xí)慣，動(dòng)筆計(jì)算會(huì)讓很多自己以為沒(méi)問(wèn)題的地方暴露出漏洞，考前發(fā)現(xiàn)不足都不是壞事，切莫因?yàn)橛?jì)算問(wèn)題讓自己再來(lái)一年。
No.2
考型與考點(diǎn)分析
首先簡(jiǎn)單看下考試題目的構(gòu)成與數(shù)量 以及每個(gè)部分規(guī)定的考試時(shí)間：
要注意這個(gè)規(guī)格是17年之后到現(xiàn)在，16年及之前是28+17的選擇題結(jié)構(gòu)。
1：選擇題，非計(jì)算器部分
一道長(zhǎng)著級(jí)數(shù)求和的樣子的題，本質(zhì)考的是大家在Precal階段就學(xué)過(guò)的無(wú)窮等比數(shù)列的和。重點(diǎn)在于搞清楚第一項(xiàng)和公比分別是多少。
考察湊微分和基本積分公式的理解，當(dāng)然很多學(xué)校會(huì)只講substitution的方法，都可以。
考察變限積分(integral with variable upper limit)和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)(the chain rule)的綜合運(yùn)用。
綜合考察大家對(duì)極限和定積分定義的理解。
本題是AP考試中非常經(jīng)典的級(jí)數(shù)審斂題目，給的級(jí)數(shù)都非常簡(jiǎn)單，主要考生看是否對(duì)定義和基本方法掌握到位。
綜合考察運(yùn)用直接法將復(fù)合函數(shù)展開(kāi)成Maclaurin級(jí)數(shù)的技巧，這道題推薦用直接法，用間接法需要一定的技巧。
2：選擇題，計(jì)算器部分
考察對(duì)弧長(zhǎng)公式的運(yùn)用，要注意普通形式，參數(shù)方程形式，極坐標(biāo)形式三種形態(tài)下的弧長(zhǎng)公式都要會(huì)。
考察運(yùn)動(dòng)學(xué)的知識(shí)，也就是微積分在物理中的應(yīng)用，重點(diǎn)在于區(qū)分displacement和t.d.t.的區(qū)別，以及各自的公式。
經(jīng)典的計(jì)算器部分的題目但計(jì)算器卻沒(méi)什么幫助的場(chǎng)合。這道題考的是抽象級(jí)數(shù)，因此要求考生充分理解各種級(jí)數(shù)審斂法的特征和應(yīng)用前提。當(dāng)然善于舉反例也是可以的。
3：簡(jiǎn)答題，計(jì)算器部分
計(jì)算器部分的大題，綜合考察參數(shù)方程的基本概念，參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù)，向量的模，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（optimization相關(guān)）。
4：簡(jiǎn)答題，非計(jì)算器部分
經(jīng)典的分段圖形結(jié)合變上限積分函數(shù)的綜合大題，a問(wèn)考察定積分的定義和幾何意義，b問(wèn)考察最值的概念注意和極值做出區(qū)分，最值不需要用test，c問(wèn)考察拐點(diǎn)的概念。
需要注意的是AP當(dāng)中會(huì)經(jīng)?？疾鞂?dǎo)數(shù)不存在的情況下，極值和拐點(diǎn)(inflection points)問(wèn)題，大家要注意梳理和歸納。
21年最新的大題，看著唬人，但是難度實(shí)際上不高，按照題目要求按部就班即可。 a問(wèn)考察了學(xué)生對(duì)積分審斂法前提條件的理解，不少學(xué)生都會(huì)做積分但是不知道這個(gè)前提條件是什么。
如果在平時(shí)學(xué)習(xí)的時(shí)候知道積分審斂法的證明過(guò)程那么在面對(duì)這個(gè)問(wèn)題時(shí)就非常得心應(yīng)手，d問(wèn)需要注意交錯(cuò)級(jí)數(shù)(alternating series)的error bound和positive series中用Lagrange Remainder求error bound方法有所不同，這也是17年之后新加的一個(gè)考點(diǎn)。
No.3
7天沖刺策略
關(guān)于在學(xué)習(xí)當(dāng)中的側(cè)重點(diǎn)把握，這里我簡(jiǎn)要說(shuō)明一下，針對(duì)一元函數(shù)微積分學(xué)（也就是大家AP的考試內(nèi)容）的一些學(xué)習(xí)備考策略。
極限與連續(xù)： 這個(gè)部分AP是講得比較完整的，在考試當(dāng)中會(huì)考概念和計(jì)算。直接考察的比例不高，但是間接考察的題目不少。而且大家要記住很重要的一句話(huà)，極限是整個(gè)微積分的基礎(chǔ) 。有了極限的定義（將來(lái)大家會(huì)接觸到的語(yǔ)言）及其相關(guān)性質(zhì)，才有后面的導(dǎo)數(shù)，不定積分，定積分，級(jí)數(shù)斂散性等諸多概念。因此大家在這部分學(xué)習(xí)和備考的時(shí)候除了會(huì)做題盡量要去理解和感悟其中的思想，這對(duì)掌握微積分有非常大的幫助。
導(dǎo)數(shù)與微分： 求導(dǎo)也是大家在微積分學(xué)科中真正第一次接觸全新的內(nèi)容（因?yàn)樵赑recalculus的一些內(nèi)容中會(huì)提前接觸極限的思想）這一部分的重點(diǎn)是幾個(gè)求導(dǎo)法則尤其是The Chain Rule ，它直接關(guān)系到后續(xù)相關(guān)變化率(related rate of change)，隱函數(shù)求導(dǎo)(derivative of implicit functions)，分部積分(integration by part)等有關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí)。不管是基礎(chǔ)班還是強(qiáng)化班沖刺班我們都會(huì)反復(fù)提及這個(gè)事情。無(wú)論是簡(jiǎn)單復(fù)合還是復(fù)雜的復(fù)合函數(shù)都要能做到準(zhǔn)確求導(dǎo)。有關(guān)微分的應(yīng)用，推薦大家記住一下幾個(gè)有用的例子。
思考這幾個(gè)函數(shù)在0處分別具有什么性質(zhì)。就能加深對(duì)一階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù)應(yīng)用相關(guān)內(nèi)容的理解。
積分與微分方程： 這一部分內(nèi)容大家在上手初期會(huì)覺(jué)得很難理解，實(shí)際上AP的積分考察一般不會(huì)很深?yuàn)W（隔壁IB考的題目雖難但是也都有提示），建議大家首先要把導(dǎo)數(shù)公式記熟 ，這個(gè)熟練不是你會(huì)默寫(xiě)的熟練而是要做到你能從各種積分式子中迅速找到對(duì)應(yīng)的基礎(chǔ)公式模型。
私以為，不定積分是這一部分核心中的核心，拋開(kāi)計(jì)算器部分，你會(huì)寫(xiě)原函數(shù)你才能用FTC去算定積分（包括improper integral），才能去解決后面的各種應(yīng)用問(wèn)題。變量可分離微分方程的本質(zhì)也是求不定積分。所以大家在這一塊下點(diǎn)功夫肯定是有好處的。
無(wú)窮級(jí)數(shù)： （AB的同學(xué)可以直接跳過(guò)）對(duì)于BC的同學(xué)來(lái)說(shuō)這一部分內(nèi)容會(huì)稍微有點(diǎn)難度，主要是形式上比較抽象而且一些思維和前面的內(nèi)容會(huì)有所差異 ，大家在備考和學(xué)習(xí)的時(shí)候可以根據(jù)自己的能力與時(shí)間分配精力?？偟膩?lái)說(shuō)考試中出現(xiàn)需要大家審斂的級(jí)數(shù)都是比較基礎(chǔ)的，再不濟(jì)ratio test, limit comparison test, integral test挨個(gè)試一下總能有結(jié)果的。有關(guān)Maclaurin Series，大家記住AP考試中依舊是考察比較基礎(chǔ)的應(yīng)用，這里推薦大家掌握一些簡(jiǎn)單的間接法展開(kāi)技巧（替換原則），對(duì)做題有很大幫助。
有關(guān)參數(shù)方程與極坐標(biāo)： BC的同學(xué)在這一部分需要注意的是，考試中不會(huì)要求你們記住極坐標(biāo)中曲線的解析式，比如擺線，螺線，心形線等，也不會(huì)直接考察大家參數(shù)方程消參的技巧。理解如何求極坐標(biāo)曲線的導(dǎo)數(shù)，如何確定極坐標(biāo)形式下的積分限是更重要的 （當(dāng)然這里涉及到一些三角的知識(shí)，希望大家在Precal中不要欠下太多的債）。當(dāng)然也非常建議大家有能力話(huà)的系統(tǒng)性學(xué)習(xí)一下極坐標(biāo)與參數(shù)方程的相關(guān)理論，對(duì)理解題目有很大的幫助。
No.4
疫情下的應(yīng)對(duì)政策
感謝宋樂(lè)陽(yáng)老師對(duì)于AP微積分備考的精彩解析！
宋老師還用自己的學(xué)習(xí)與教學(xué)經(jīng)驗(yàn)提醒同學(xué)們：“微積分是一門(mén)通往高等領(lǐng)域的研究工具，概率論的完善，數(shù)理統(tǒng)計(jì)的建立，物理當(dāng)中相關(guān)公式的推導(dǎo)，金融當(dāng)中的各種投資計(jì)算，量化風(fēng)險(xiǎn)等等均是基于微積分理論。所以學(xué)好這門(mén)課不僅僅是為了一個(gè)5分，還是為了你將來(lái)的學(xué)術(shù)道路能夠走的順利 。”
“截止我寫(xiě)稿的這一刻，上海地區(qū)和上海周邊的一些地區(qū)考試都取消了，預(yù)測(cè)CB是不會(huì)單獨(dú)為了部分考生采用線上考試，后面在五月下旬會(huì)有一個(gè)late testing，那么很有可能會(huì)采用推遲考試的形式。我們分別考慮一下相關(guān)可能性，如果今年徹底取消，那么沒(méi)有AP成績(jī)肯定是需要?jiǎng)e的考試或者相關(guān)標(biāo)化來(lái)補(bǔ)充基本競(jìng)爭(zhēng)力的。如果是late testing，那么該來(lái)的還是要來(lái)的，同時(shí)注意到大家的復(fù)習(xí)時(shí)間都變長(zhǎng)了，在劃5分線的時(shí)候不排除水漲船高的可能性。當(dāng)然以上分析并不是要制造焦慮，我想說(shuō)的是仍舊應(yīng)該保持正常學(xué)習(xí)備考狀態(tài)，以平穩(wěn)的心態(tài)應(yīng)對(duì)疫情帶來(lái)的不確定性。 既不要趁機(jī)擺爛，也不必感到著急。”
認(rèn)真上好現(xiàn)在的網(wǎng)課，當(dāng)你想著躺平，也許你的同僚依舊在認(rèn)真學(xué)習(xí)，等到隔離結(jié)束， 你可能會(huì)發(fā)現(xiàn)和別的人差距突然擴(kuò)大了許多 。
從另一個(gè)角度來(lái)說(shuō)，排除一些同學(xué)申請(qǐng)藝術(shù)，純文科等進(jìn)入大學(xué)后不會(huì)再接觸數(shù)學(xué)的專(zhuān)業(yè)，大部分同學(xué)在大學(xué)階段的前幾年，還是要和數(shù)學(xué)打交道的。不管是概率論還是理工科必修的cal3，在AP階段打好基礎(chǔ)對(duì)自己只有好處沒(méi)有壞處 ，所以保持長(zhǎng)遠(yuǎn)的目光，未雨綢繆。學(xué)到的知識(shí)永遠(yuǎn)是自己的財(cái)富，千萬(wàn)不要覺(jué)得學(xué)習(xí)是吃虧。
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犀牛暑期AP課程
犀牛教育秉持著教學(xué)品質(zhì)至上，以學(xué)生出分為己任 。教學(xué)團(tuán)隊(duì)潛心鉆研課程內(nèi)容，不斷完成產(chǎn)品迭代和服務(wù)升級(jí)，升級(jí)版服務(wù)團(tuán)隊(duì)將用最大的熱情和責(zé)任心為學(xué)生服務(wù)，提高學(xué)生學(xué)習(xí)效率和質(zhì)量。我們用心關(guān)注每一位學(xué)生的成長(zhǎng)，陪伴孩子高效質(zhì)優(yōu)的走完國(guó)際課程之路。
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