經(jīng)常會(huì)有一些學(xué)生和家長(zhǎng)問(wèn)：同樣是數(shù)學(xué)，AP、IB和A-level他們之間有什么區(qū)別？是哪個(gè)學(xué)科更難一點(diǎn)，還是內(nèi)容會(huì)更多一點(diǎn)？如果是體制內(nèi)轉(zhuǎn)到體制外的話，那么選擇哪個(gè)體系會(huì)更適合我們家的孩子？那么今天我就給大家來(lái)講一講，三大體系數(shù)學(xué)學(xué)科的對(duì)比分析，以及它們之間的聯(lián)系和區(qū)別。

IB體系是一個(gè)非常成熟且全面的一個(gè)體系，從小學(xué)到高中都有相關(guān)的課程。IB數(shù)學(xué)的大考或者整個(gè)高中階段的數(shù)學(xué)課程，是一個(gè)綜合數(shù)學(xué)。它的內(nèi)容從函數(shù)代數(shù)方程 Linear Algebra、向量三角Vectors到微積分和概率統(tǒng)計(jì)calculus，Probability and Statistics。這三塊內(nèi)容綜合起來(lái)的話，可以理解為是大學(xué)三大基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的一個(gè)前沿學(xué)習(xí)，這也是為什么說(shuō)IB的高分是可以在大學(xué)當(dāng)中進(jìn)行學(xué)分抵扣的。因?yàn)樗膶W(xué)習(xí)內(nèi)容跟海外一些學(xué)校的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)學(xué)習(xí)有著比較密切的聯(lián)系。

代數(shù)、函數(shù)、三角幾何，這些內(nèi)容橫向?qū)Ρ葋?lái)說(shuō)，其實(shí)跟我們體制內(nèi)的高考數(shù)學(xué)的內(nèi)容有點(diǎn)像，三角函數(shù)、向量、指對(duì)數(shù)這些在高考當(dāng)中也會(huì)考。所以我習(xí)慣性的把它稱(chēng)之為初等數(shù)學(xué)，因?yàn)檫@是我們?cè)诖髮W(xué)之前學(xué)習(xí)的一個(gè)科目。

IB數(shù)學(xué)兩大類(lèi)：AA，全稱(chēng)是Analysis and Approaches，數(shù)學(xué)分析與方法。AI，Applications and Interpretation，數(shù)學(xué)應(yīng)用與解釋。從這個(gè)命名當(dāng)中就可以看出AA是偏理論和分析的，AI偏應(yīng)用和實(shí)際。

Numbers and Algebra

如圖所示，左側(cè)的AA有一塊Proofs，對(duì)抽象和分析的要求比較高，包括systems of Linear Equ.方程組，包括行列的處理。

Functions

函數(shù)這一塊的話，比起后面幾個(gè)章節(jié)，AA和AI的區(qū)別會(huì)小一點(diǎn)，因?yàn)槠鋵?shí)不管是研究抽象性的數(shù)學(xué)還是應(yīng)用性的數(shù)學(xué)，函數(shù)都是一個(gè)公共性、普遍性的工具，

Trig and Graph

這一塊AA和AI的區(qū)別是比較顯著的。對(duì)于大部分學(xué)生來(lái)說(shuō)都比較陌生，對(duì)于幾何空間擅長(zhǎng)的同學(xué)可以考慮一下AI。

Probability and Statistics

概率論和統(tǒng)計(jì)這一塊，我們可以看到，主要的區(qū)別在于最后兩個(gè)章節(jié)：Hypothesis testing 和 est&confidence intervals。最后兩塊內(nèi)容，假設(shè)檢驗(yàn)和區(qū)間估計(jì)執(zhí)行度，這也是統(tǒng)計(jì)學(xué)當(dāng)中的一個(gè)精髓，也正式體現(xiàn)了統(tǒng)計(jì)作為一門(mén)應(yīng)用學(xué)科，它和純數(shù)包括微積分的一個(gè)不同之處。

在生活當(dāng)中很多地方，都可以用假設(shè)、檢驗(yàn)或者區(qū)間估計(jì)來(lái)解釋?zhuān)@也再次體現(xiàn)了AI偏重應(yīng)用和理解。

Calculus

微積分部分看上去區(qū)別不是很大，其實(shí)在這一塊，AA會(huì)比AI考察的深。因?yàn)樽詈笠粔K Maclaurin  Series 實(shí)際上的難度和內(nèi)容是很多的，它是一個(gè)微積分的綜合應(yīng)用，需要對(duì)微積分有比價(jià)高的理解。

在AI的Differential  Equations當(dāng)中會(huì)考察到Coupled Differential Eqs。這在三大體系當(dāng)中是比較獨(dú)特的，所以選擇AI的同學(xué)，在微積分當(dāng)中要稍微留意一下。

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IB和AP是由官方統(tǒng)一管理的。但是A-level有個(gè)考試局的概念，一共是有7個(gè)考試局。中國(guó)大陸學(xué)生能參加到的主要是CIE，愛(ài)德思和AQA。

一般來(lái)說(shuō)，中國(guó)大陸的學(xué)生選擇CIE會(huì)更多一點(diǎn)，雖然不同的考試局的卷子是不一樣的，但是理科的學(xué)習(xí)其實(shí)大同小異，只是在側(cè)重點(diǎn)，或者說(shuō)學(xué)習(xí)順序上面會(huì)有一些區(qū)別，但是內(nèi)容整體上來(lái)說(shuō)不會(huì)有很顯著的差異。

CIE考試局的話一般是四張卷子啊，包括：Pure1純數(shù)1，Pure3純數(shù)3，Statistics1 統(tǒng)計(jì)和Mechanics1力學(xué)。

需要注意的是，在于A-level中，數(shù)學(xué)有Mechanics這個(gè)部分包括Velocity and acceleration, Force and motion, Friction, Momentum, Work and energy?？吹竭@些內(nèi)容，大家就知道這是一個(gè)物理中的力學(xué)學(xué)科。

所以也就是說(shuō)，在A-level數(shù)學(xué)當(dāng)中，會(huì)考察物理的力學(xué)和數(shù)學(xué)結(jié)合的內(nèi)容。比如圓周運(yùn)動(dòng)、勻變速直線運(yùn)動(dòng)等。會(huì)弱化一些物理當(dāng)中的概念，主要是考察怎么去應(yīng)用數(shù)學(xué)，運(yùn)用微積分去把這些相關(guān)的變量和結(jié)果給計(jì)算出來(lái)。

純數(shù)1、純數(shù)三3和概率統(tǒng)計(jì)，對(duì)比一下IB。其實(shí)相似度挺高的。所以其實(shí)數(shù)學(xué)這個(gè)學(xué)科，只要是同年級(jí)的學(xué)生，差異不會(huì)特別大。

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AP的數(shù)學(xué)分為兩個(gè)大考科目，Calculus and Statistics，也就是我們熟悉的AP微積分和AP統(tǒng)計(jì)。

AP微積分分為AB和BC兩個(gè)方向。

AP的數(shù)學(xué)，不考察諸如像向量、三角函數(shù)、有理函數(shù)、復(fù)數(shù)這些概念。AP數(shù)學(xué)不是一個(gè)綜合性數(shù)學(xué)，并不會(huì)考察到大學(xué)的微積分、統(tǒng)計(jì)這些內(nèi)容。所以這也是AP和IB，A-level不太相同的一個(gè)地方，IB，A-level都是綜合數(shù)學(xué)，而AP只考察微積分和數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)。

AB微積分的AB和BC到底有什么樣的區(qū)別？

總體上來(lái)說(shuō)，BC的微積分會(huì)比AB的微積分涵蓋更多內(nèi)容，在同樣的知識(shí)點(diǎn)上，BC難度也會(huì)比AB難度更高。比如說(shuō)參數(shù)方針導(dǎo)數(shù)、幾坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù)、分布積分等些在AB當(dāng)中是不做要求的。

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對(duì)于選擇AP的同學(xué)來(lái)說(shuō)，雖然沒(méi)有初等數(shù)學(xué)部分的考試，只有微積分和統(tǒng)計(jì)，但是不代表Precalculus就可以隨便學(xué)學(xué)或者學(xué)了就忘，因?yàn)镻recalculus是一個(gè)非常重要的基礎(chǔ)。

首先，從眼前的一個(gè)角度來(lái)說(shuō)，它關(guān)系到你的GPA，你的平時(shí)成績(jī)。從一個(gè)長(zhǎng)遠(yuǎn)的角度來(lái)說(shuō)，AP的微積分對(duì)于Precalculus的基礎(chǔ)要求是比較高的，很多內(nèi)容，比如Partial Fraction 就是我們?cè)赑recalculus中學(xué)的有理函數(shù)的一個(gè)延伸，所以對(duì)于AP數(shù)學(xué)來(lái)說(shuō)，初等數(shù)學(xué)也一樣要重視。

在三角函數(shù)部分，IB、AP和A-level 都會(huì)考察大家對(duì)于

這個(gè)解析式中各個(gè)字母的含義與對(duì)應(yīng)transformation的練習(xí)，也會(huì)結(jié)合三角恒等式與三角方程進(jìn)行命題和考察。

IB和A-level比較喜歡去結(jié)合微積分進(jìn)行處境。所以在學(xué)習(xí)的過(guò)程當(dāng)中，也要去融合幾個(gè)章節(jié)的知識(shí)點(diǎn)。在這個(gè)當(dāng)中，A-level對(duì)于跨章節(jié)的考察更為注重。有時(shí)候會(huì)跨兩三個(gè)板塊，比方說(shuō)三角微積分、再加一個(gè)有理函數(shù)，這些東西加一起去考察。

從學(xué)習(xí)的過(guò)程來(lái)說(shuō)，微積分部分也是一個(gè)重點(diǎn)，因?yàn)樗且婚T(mén)大學(xué)的課程，大家在高中階段就提前去學(xué)習(xí)，難度和挑戰(zhàn)肯定是有的。而且，不管IB還是A-level，雖然是一個(gè)綜合數(shù)學(xué)考察，但是微積分的這個(gè)比重往往都是比較高的。

對(duì)于微分和積分的這些考察與應(yīng)用，三大體系基本上都是差不多的。所以大家在學(xué)習(xí)這一塊內(nèi)容的時(shí)候，比如說(shuō)有些同學(xué)學(xué)IB的，可不可以去參考AP的資料呢？或者學(xué)A-level的，可不可以去參考IB的資料??？這都是可以的，因?yàn)橹R(shí)點(diǎn)都是完全一樣的。

另外在在選擇微積分時(shí)，同學(xué)們一定要去留意一下IB的AA HL的paper3和AP的BC，有一塊內(nèi)容叫Infinite Series，這一塊內(nèi)容對(duì)于很多學(xué)生來(lái)說(shuō)啊，都是非常難以攻克的一關(guān)。

我之前在給學(xué)生分析備考和給予沖刺學(xué)習(xí)的建議時(shí)，我說(shuō)過(guò)如果你覺(jué)得太難的話，可以選擇性的放棄。這一點(diǎn)點(diǎn)分?jǐn)?shù)并不會(huì)影響你最終的一個(gè)結(jié)。

三大體系在這方面的差異會(huì)比較顯著一點(diǎn)。AP統(tǒng)計(jì)更像文科。所以它和微積分獨(dú)立的開(kāi)展，成為了并列的單獨(dú)考試學(xué)科。那么IB和A-level當(dāng)中的統(tǒng)計(jì)，除了AI這一塊，很多時(shí)候會(huì)偏向于結(jié)合微積分的計(jì)算，就是說(shuō)它會(huì)更側(cè)重于概率論。所以IB和A-level是綜合數(shù)學(xué)，它把這個(gè)概率部分考察進(jìn)去了。

AP統(tǒng)計(jì)對(duì)于閱讀審題分析的能力要求非常高。所以它比較像文科。

如圖所示，AP的題目其實(shí)沒(méi)有多少計(jì)算量，或者說(shuō)，僅有的計(jì)算量都是交給計(jì)算器去完成的，所以AP的統(tǒng)計(jì)，比較側(cè)重?cái)?shù)理統(tǒng)計(jì)，側(cè)重于你對(duì)統(tǒng)計(jì)的理解。

AP統(tǒng)計(jì)每年大考題目當(dāng)中的簡(jiǎn)答題，都會(huì)考察你對(duì)于統(tǒng)計(jì)圖表，或者說(shuō)統(tǒng)計(jì)方法、統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)的方法過(guò)程上的一些問(wèn)題。而這個(gè)東西在IB和A-level是非常少的。

在整個(gè)AP統(tǒng)計(jì)中，就沒(méi)有概率密度函數(shù)計(jì)算的概念。所以說(shuō)如果你的微積分的基礎(chǔ)不是很好，或者說(shuō)閱讀能力很強(qiáng)，其實(shí)可以考慮學(xué)AP統(tǒng)計(jì)。

三大體系在統(tǒng)計(jì)部分的差異是明顯要高于初等數(shù)學(xué)和微積分部分。

當(dāng)然，這在某種程度上也是由于統(tǒng)計(jì)這個(gè)學(xué)科的特點(diǎn)所造成的，因?yàn)榻y(tǒng)計(jì)學(xué)是一個(gè)應(yīng)用學(xué)科。很多時(shí)候其實(shí)是通過(guò)數(shù)字來(lái)解釋預(yù)測(cè)一些現(xiàn)象，或者輔助一些研究。所以AP統(tǒng)計(jì)側(cè)重于考察這個(gè)方面。而IB和A-level可能更注重大家對(duì)于概率論的理解。

初等數(shù)學(xué)部分，哪怕是對(duì)于AP的學(xué)生來(lái)說(shuō)也非常重要。學(xué)校里的績(jī)點(diǎn)以及對(duì)于AP微積分的學(xué)習(xí)來(lái)說(shuō)都是的一個(gè)基礎(chǔ)

微積分部分，三大體系的區(qū)別是有限的，主要就是級(jí)數(shù)和微分方程。微分方程方面，主要是針對(duì)AI的同學(xué)。這個(gè)是三大體系當(dāng)中其他所不具備的。微分方程的知識(shí)點(diǎn)不是多難，而主要是對(duì)于大家來(lái)說(shuō)比較陌生。所以大家根據(jù)自己對(duì)于知識(shí)的理解，以及對(duì)于抽象代數(shù)函數(shù)的運(yùn)用能力來(lái)選擇。

統(tǒng)計(jì)部分，也是區(qū)別比較大的一個(gè)部分。AP偏文科，更考察學(xué)生對(duì)于統(tǒng)計(jì)的理解和分析，那么IB和A-level更加考察學(xué)生對(duì)于概率的運(yùn)算以及統(tǒng)計(jì)的運(yùn)算和分析。

對(duì)于不同體系的學(xué)生除了學(xué)校的課本學(xué)習(xí)之外呢，我也給出一些比較針對(duì)性的建議：

對(duì)于AP的同學(xué)，因?yàn)槊磕阠ollegeboard考試局的出題風(fēng)格和套路是比較固定的。所以把真題吃透對(duì)于大家做知識(shí)復(fù)習(xí)也好，備考也好，幫助都是比較大的。

IB和A-level的同學(xué)，特別是IB的課程內(nèi)容，知識(shí)面非常廣，尤其是AI的同學(xué)。所以在學(xué)習(xí)的過(guò)當(dāng)中，可以多去參考一些大學(xué)里的，或者是更難一些的書(shū)籍給自己的知識(shí)儲(chǔ)備做擴(kuò)充。

那么A'-level的題目有這樣的特色，就是它的題目同質(zhì)化程度比較高，或者說(shuō)它的套路比較固定。而且它的跨章節(jié)的綜合性會(huì)更強(qiáng)一點(diǎn)，所以題海戰(zhàn)術(shù)很有用，刷的足夠多的題，熟練度，包括對(duì)于題目的敏感度，自然而然就出來(lái)了。

以上內(nèi)容，是通過(guò)我個(gè)人的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)給三大體系做了這樣的一個(gè)對(duì)比和分析啊。希望能夠給各位家長(zhǎng)和同學(xué)帶來(lái)一定的幫助和收獲。