哈佛-麻省理工學(xué)院數(shù)學(xué)錦標(biāo)賽 HMMT
不是哈佛大學(xué)和麻省理工學(xué)院學(xué)生之間的比賽，從標(biāo)題中可以合理地推測。
HMMT實際上是一項高中水平的數(shù)學(xué)競賽，由哈佛大學(xué)和麻省理工學(xué)院的學(xué)生組織。
學(xué)生通過一系列的個人和團(tuán)隊回合參加團(tuán)隊比賽。以下是 2021 年 11 月錦標(biāo)賽“膽量”回合的 3 個問題。
The Guts 是一項接力賽，每支隊伍分成兩半，輪流盡快解決問題。
但是您不必?fù)?dān)心時間壓力。慢慢來，享受問題。??
第1題 [5分]
假設(shè)h · a · r · v · a · r · d = m · i · t = h · m · m · t = 100
求 (r · a · d) · (t·r·i·v·i·a)
第2題 [5分]
笛卡爾平面上方程 y = −x + 8 和 173 y = −289x + 2021 的圖形在 (a, b)處相交。
第3題 [6分]
找出可以重新排列“HMMTHMMT”中的字母的組合的總數(shù)，以便每個相同的字母緊密相鄰。
例如，“MMMMTTHH”滿足此屬性，但“HHTMMMTM”不滿足此屬性。
問題 1 的解決方案
我們沒有足夠的信息來單獨解決每個變量。所以必須有一種方法可以組合方程來形成所需的乘積
該表達(dá)式包含除 h 之外的所有來自哈佛的字母，然后還有一個額外的 i、i 和 t。
(r·a·d）·(t·r·i·v·i·a)=((h·a·r·v·r·d）÷ h)· (i·i·t)
(r·a·d)·(t·r·i·v·i·a)=(100÷h)· (i·i·t)
現(xiàn)在我們只需要找到 ((i·i·t) ÷ h))的值。
方程 m · i · t =100 和 h · m · m · t = 100 派上用場：
(m·i·t)÷ (h · m · m · t) = 1
(i) ÷ (h · m) = 1
(m·i·t)· (i)÷（h·m)=100
(i·i·t）÷ h = 100
所以最后我們有了
(r·a·d)·(t·r·i·v·i·a(100÷h)· (i·i·t)
(r·a·d)·(t·r·i·v·i·a)=100· 100
(r·a·d)·(t·r·i·v·i·a)=10000
問題 2 的解決方案
真的很好。如果你和我一樣，你會深入研究聯(lián)立方程，可能從代入開始：
173 (−x + 8） = −289x + 2021
−173 x + 1384 = −289x + 2021
現(xiàn)在我把計算器拿出來......
...事實證明，方程組的解是
x = 637/116 和 y = 291/116
它們的總和 x + y = 928/116，感謝計算器簡化為......8.
哦。噢！現(xiàn)在我明白了。??♂?
對于直線 y = −x + 8 上的任意點 (a，b)，總和 a + b 必須為 8，因為直線的方程只是 x + y = 8。
問題是由麻省理工學(xué)院的學(xué)生Holden Mui提出的 ??
對我來說，這實際上是最簡單的，盡管比前兩個略高。
任何滿足條件的 8 個字母字符串都必須是 4 對“MM”、“MM”、“TT”和“HH”的排列。
會有 4 ！= 24 種排列方式
但是由于兩個“MM”對是相同的，我們精確地重復(fù)計算了可能的排列數(shù)量，現(xiàn)在是 24 ÷ 2 = 12。
我希望你喜歡這“3個快速問題”。想要更具挑戰(zhàn)性的東西的人，請嘗試這個數(shù)論問題：
第29題 [15分]
凱文在黑板上寫下正整數(shù) 1、2、......、15。然后，他在黑板上反復(fù)隨機(jī)挑選兩個整數(shù)a，b，擦除它們并寫下
gcd(a，b)和lcm(a，b)
他一直這樣做，直到他不再能夠改變寫在黑板上的一組數(shù)字。在此過程之后，找到數(shù)字的最大可能總和。
MIT 2023 Intergration Bee
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