AMC10/12正在陸續(xù)出分，犀牛教育學(xué)子在本賽季中取得不菲成績。雖然官方晉級AIME數(shù)學(xué)競賽及獲獎分?jǐn)?shù)線暫未公布，不少同學(xué)已經(jīng)進(jìn)入了AIME準(zhǔn)備中。
與此同時，我也收到不少關(guān)于AIME數(shù)學(xué)競賽備考、課程安排的疑問：
"從AMC到AIME，需要做哪些備考調(diào)整？"
"犀牛的AIME課程如何安排？"
"AIME沖刺班會講知識點嗎？還是只刷題？"
"這樣的課程安排真的有助于拿獎嗎？"
...
進(jìn)入AIME備考周期，今天我來為同學(xué)們解答AIME數(shù)學(xué)競賽第一課究竟學(xué)什么？
01
從基礎(chǔ)開始學(xué)會選擇數(shù)學(xué)工具
先來看下我們AIME課程的安排：
犀牛AIME課程大綱
Lecture1：三角函數(shù)與解三角形
Lecture2：方程：方程組（含解析幾何）與高次方程
Lecture3：方程：齊次方程、不定方程、韋達(dá)定理
Lecture4：單圓內(nèi)套雞爪、雙圓與多圓問題
Lecture5：數(shù)列專題--一階與二階差分?jǐn)?shù)列
Lecture6：數(shù)列與概率--遞歸與遞推數(shù)列
Lecture7：解析幾何專題：數(shù)形結(jié)合思想
Lecture8：數(shù)列與數(shù)論綜合題
Lecture9：概率：復(fù)雜的離散型概率（結(jié)合分類討論）
Lecture10：抽象函數(shù)與迭代以及六大函數(shù)性質(zhì)應(yīng)用
Lecture11~13：數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法、12個AIME專題（共10種）
Lecture14~15：?？寂c題目綜合訓(xùn)練
我為什么把三角函數(shù)放在第一節(jié)課呢？主要還是因為三角函數(shù)的應(yīng)用性強(qiáng)。其實三角函數(shù)的發(fā)展歷史就是一部數(shù)學(xué)史，我們來掰扯一下：
周朝的商高為了解決皇室封地問題，當(dāng)測量有些山的高度時出現(xiàn)了難度，翻山越嶺顯然是不行的，于是作為勾股定理的勾三股四弦五就出現(xiàn)了，用來測量一些山的高度等。
但是對于勾股定理的使用，我們也只是局限于此。中國很多古代的發(fā)明發(fā)展基本都有這個特點，四大發(fā)明都是應(yīng)用性文明，而不是基礎(chǔ)性文明，所以不具備可擴(kuò)展性。
希臘人喜歡看星星，于是在測量星星的位置關(guān)系時，他們搞出了弦表，有點類似于sinx，當(dāng)時希臘的歷法是一年360天，正好地球繞太陽一圈，所以他們就把圓分為了360度。
然后到了阿拉伯人這里。處在沙漠地區(qū)的阿拉伯人，雖然頭巾能夠防日曬，但是阻擋不了他們要走出沙漠的心。在第一次大航海時代，阿拉伯人用sin，cos，tan等進(jìn)行航海導(dǎo)航。
最后來到了歐洲，宇宙的數(shù)學(xué)中心。一幫吃飽了沒事干的醫(yī)生、律師和造幣廠的廠長，開始追求計算的精度，以顯示自己是有多么的閑。于是那個被蘋果砸過的男人，用級數(shù)來計算，大大提高了三角函數(shù)的精度。三角函數(shù)由345，發(fā)展到360（如果當(dāng)時希臘歷法先進(jìn)一些，應(yīng)該是365.2422°，當(dāng)然幸虧沒用這個值），再到牛頓的現(xiàn)代精確值。歐拉是集大成者，他把三角函數(shù)的計算值提高到任意精度，同時用全世界最美的公式把三角函數(shù)送進(jìn)了復(fù)數(shù)域。
所以三角函數(shù)很好的把幾何與代數(shù)聯(lián)系起來，是各類數(shù)學(xué)工具的基石，也是數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想最好的例子。
所以作為AIME的第一節(jié)課，通過三角函數(shù)來把幾何和代數(shù)串起來，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的第一步：選擇一個數(shù)學(xué)工具比執(zhí)行這個數(shù)學(xué)工具更重要。
02
細(xì)分三角函數(shù)的7個專題
在三角函數(shù)部分我們一共分了7個小專題來講解，分別是：
三角函數(shù)學(xué)習(xí)內(nèi)容細(xì)分
1.三角函數(shù)與齊次方程
2.三角函數(shù)與三角方程、方程組
3.三角函數(shù)與循環(huán)數(shù)列
4.三角函數(shù)與復(fù)數(shù)（歐拉方程）
5.三角函數(shù)與幾何中的解三角形
6.復(fù)雜三角函數(shù)運算（89項、179項的連乘、連加、錯位相減等）
7.三角函數(shù)與特殊抽象函數(shù)（周期+軸對稱+點對稱）
我們分別列幾個典型的題目，來看一下這7個專題：
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03
AMC高分選手上8分也很難
AIME準(zhǔn)備方案來襲！
總體來看，AIME相比AMC在廣度降低，在深度、關(guān)聯(lián)度上進(jìn)行提升。許多AMC考出高分的同學(xué)，到AIME階段非常痛苦，上8分很難。
除了AIME的知識點復(fù)雜深入外，還有非常多“坑”，例如會在題目中出現(xiàn)非常多質(zhì)數(shù)、AMC的選擇題經(jīng)驗在AIME的填空題中無法使用、思考的時間有限。3小時只做15道填空題，顯然考驗的是學(xué)生的決策力+執(zhí)行力。
對于AMC10的同學(xué)來說：需要補(bǔ)充一些知識點到AMC 12的水平（三角函數(shù)、復(fù)數(shù)、向量） ；
對于AMC12的同學(xué)來說：知識點的深度、綜合性串聯(lián)的題目加強(qiáng)。知識點主要集中在①三角函數(shù) ②數(shù)列 ③幾何。
