單向遞歸是指每一項僅與前一項有關(guān)；雙向遞歸是指每一項與前一項以及下一項有關(guān)。我們先看二階以及三階的遞推式解的問題，分為兩類：帶常數(shù)項與不帶常數(shù)項的，即：
注意，兩階的遞推，需要知道2個初始值；三階的遞推則需要3個初始值。
用特征方程求解的數(shù)列（里面不帶常數(shù)項），又叫差分數(shù)列，AIME會考察的是二階差分和三階差分；在連續(xù)函數(shù)中，對應(yīng)的是常微分方程。帶常數(shù)項的，需要先進行換元，然后轉(zhuǎn)化為差分數(shù)列即可。在下文數(shù)列的專項中，我們會再提一下。
在AMC中也會考察有限項的雙向遞歸，有限的雙向遞歸，一般會列出N元一次方程，然后求解方程即可。比如如下的這道經(jīng)典的青蛙題：
關(guān)于這道題的完整解析也可以加下方犀牛的微信號然后向我索取完整版的解析，這里我們不再贅述，AMC考察的有限項的雙向遞推。AIME也會考察類似的題目，再難一點的題目，則考察無限項的遞歸。我們先看一道去年AIME-I卷-12題：（AOPS的解析比較繁瑣，沒有抓住有限元的雙向遞歸的本質(zhì)。）
答案為：
即：16+3=19.
我們看一道相對復(fù)雜一點的題目：
AOPS里給出的解析是：
Iteratively…會讓很多同學(xué)一口鮮血噴在電腦屏幕上，提供解析的這位同學(xué)還是沒有弄好帶常數(shù)項的雙遞推數(shù)列如何去做。這道題還是典型的“構(gòu)造型的等差數(shù)列”（注意，當(dāng)你求出來公比是1的時候，這個數(shù)列就是等差數(shù)列了，我們可以認為等差數(shù)列是一種特殊的差分數(shù)列，即公比為1）。另外就是三階差分數(shù)列，需要知道三個初始條件，這道題的a1和a0之間的一個特殊值，所以可以求出來。另外這道題因為求第23項，而且遞推式已經(jīng)求出來，就沒必要求通項公式了。
總之，做好遞歸題目，還是先學(xué)會數(shù)列的各種解法。
數(shù)列題，分為單遞推，以及雙遞推，對于單遞推來說，用的方法有：
① 差分數(shù)列（帶常數(shù)項與不帶常數(shù)項）：特征值方程法；
② 構(gòu)造型等差數(shù)列或等比數(shù)列：待定系數(shù)法；
③ 三角換元法：tan(α+β)，sin(α+β)，tan(π/4+α)；
④ 周期數(shù)列法：帶絕對值的數(shù)列、tan(π/4+α)、tan(π/6+α)寫前6項
⑤ 裂項法（裂項相加然后相消）；
⑥ 等差與等比的混合數(shù)列求和（乘以公比，錯位相減）
雙遞推數(shù)列的求法：
① 大部分的雙遞推需要消掉bn，然后變?yōu)閱芜f推；
② 如果消不掉，則根據(jù)方程組思想來求解（參考點撥二里面的方程組求法）。
在AIME中，比較難的數(shù)列題，一共18道，歸納如下：
時間有限，無法講解每道題，如果需要講解的同學(xué)，請聯(lián)系客服，進行PPT和相應(yīng)的視頻索取，也歡迎大家有更多的討論。
