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在AMC中排列與組合考察的題目相對(duì)來(lái)說(shuō)比較簡(jiǎn)單，主要通過(guò)以下方法進(jìn)行求解：
① 常規(guī)的乘法原理、加法原理、排列與組合的混合運(yùn)用；
②捆綁法、插空法等綜合運(yùn)用；
③排除法：at least, at most題型；
④分類討論：不重不漏；
⑤重復(fù)排列、圓排列；
⑥伯努利分布、二項(xiàng)式定理、三項(xiàng)式定理或四項(xiàng)式定理的綜合運(yùn)用。
所以AMC在排列組合中難以出現(xiàn)比較困難的題目，只要以上知識(shí)點(diǎn)掌握熟練，然后注意細(xì)節(jié)，基本上還是不會(huì)出現(xiàn)特別困難的題目。但是在AIME題目中，以及比較困難的AMC題目，則從轉(zhuǎn)化角度對(duì)排列組合這個(gè)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行考察，基本上要把握好以下原則：
① 對(duì)文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為幾何圖形問(wèn)題；
②把幾何圖形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程組的解的問(wèn)題，或者回到AMC所考察的知識(shí)點(diǎn)中來(lái)。
轉(zhuǎn)化問(wèn)題第I類：配對(duì)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何圖形問(wèn)題
在AMC中曾經(jīng)考察的類似題目為：
AMC 10-2012A-23
關(guān)于這兩道題的解析，可以加后文的微信索取。AOPS的解析依然還是沒(méi)有系統(tǒng)性的解決類似的的配對(duì)問(wèn)題。
我們看一下AIME中的考察：
首先要理解這道題的題意，然后把這道文字題，轉(zhuǎn)化為幾何圖形問(wèn)題，就簡(jiǎn)單很多。
這道題很多同學(xué)疑問(wèn)的地方是為什么10個(gè)圍成一個(gè)圓圈符合、2個(gè)5+5的圓圈符合，而8+2，7+3,6+4的形式就不可以呢？因?yàn)樽⒁獾饺绻嬖谝粋€(gè)k使得條件不滿足，則這個(gè)集合內(nèi)部將實(shí)現(xiàn)一個(gè)置換。若使得不存在的置換，則只有兩種情況，要么所有數(shù)是構(gòu)成一整個(gè)置換，要么構(gòu)成兩個(gè)大小為5的置換，而8+2，7+3,6+4都可以找到一個(gè)相對(duì)稱的置換。
當(dāng)轉(zhuǎn)化為幾何圖形時(shí)，分為四種情況，則題目就簡(jiǎn)單很多（注意：一共4種情況，容易漏其中一種或者兩種）：
轉(zhuǎn)化問(wèn)題第II類：幾何圖形轉(zhuǎn)化為方程組解的問(wèn)題
很多同學(xué)在處理這道題的時(shí)候，對(duì)減掉3*（50C2）不知道是什么原因?qū)е碌模@個(gè)題是經(jīng)典的帶限制條件的不定方程求組數(shù)解的題目。關(guān)于這個(gè)知識(shí)點(diǎn)，是AMC的知識(shí)點(diǎn)，我們簡(jiǎn)單再?gòu)?fù)習(xí)一下。
比如如下這兩道題答案是不一樣的：
①12x+4y+3z=567的非負(fù)整數(shù)解的組數(shù)；
②12x+4y+3z=567的正整數(shù)解的組數(shù)；
③12x+4y+3z=567且1≤x,y,z≤45的解的組數(shù)。
這個(gè)題目還是要用擋板法，用文字解釋不清楚，語(yǔ)音比較方便，想要知道以上三個(gè)題目的區(qū)別，以及上文的“減掉3*（50C2）”的具體方法的，可以加我微信，然后語(yǔ)音和圖片的方式來(lái)回復(fù)。有很多同學(xué)想要排除法，排除掉所有直角三角形和鈍角三角形，也是可以的，就是略顯麻煩。
我們?cè)倏匆幌略邳c(diǎn)撥（二）中提到的一道題：
上次我們是用代數(shù)的方法（具體可以看點(diǎn)撥二），現(xiàn)在我們用幾何的方法再處理一遍：
考慮3行6列的18個(gè)不同的小球，每次我可以選若干的點(diǎn)，總共選6個(gè)點(diǎn)。S是這樣的選擇的總個(gè)數(shù)，但我們也可以用下面的綜合計(jì)數(shù)的方法：我從18個(gè)球中任意挑選6個(gè)，這兩種答案應(yīng)該是一樣的。因此答案就是18C6=18564。
轉(zhuǎn)化問(wèn)題第Ⅲ類：分類與分步
分類討論是所有競(jìng)賽都會(huì)考察的數(shù)學(xué)思想，需要掌握以下幾點(diǎn)：
①不重不漏：這是最重要的；
②建立的分類標(biāo)準(zhǔn)，不能使分的類別超過(guò)5種；
③在分類時(shí)，對(duì)于一些復(fù)雜的題目，要把個(gè)例和通例結(jié)合在一起綜合思考。
分步最關(guān)鍵的是分步的路徑，一旦路徑的順序錯(cuò)誤，將會(huì)非常麻煩，甚至?xí)霈F(xiàn)錯(cuò)誤。
現(xiàn)實(shí)中很多題目，分類和分步是難以清晰的分開(kāi)的，兩者緊密的結(jié)合在一起。我們看一道題目，堪稱是分類和分步在一起的絕好典型：
因?yàn)榉诸惡头植绞浅Ｒ?guī)的題型，技巧性很傳統(tǒng)，這里不再做進(jìn)一步贅述。
AMC比較喜歡考察復(fù)數(shù)的基礎(chǔ)，比如高次方程的解的存在性、高次方程的解所圍成的圖形的面積，比如類似下面的題目：
所有的點(diǎn)所圍成的凸面圖形的面積；
或者
的四個(gè)點(diǎn)正好是一個(gè)橢圓焦點(diǎn)弦（過(guò)橢圓的焦點(diǎn)與長(zhǎng)軸垂直的弦）與橢圓的四個(gè)焦點(diǎn)，求離心率e，等等，總體上來(lái)說(shuō)，AMC對(duì)復(fù)數(shù)的考察還比較基礎(chǔ)，難題集中在復(fù)數(shù)的高次方程的幾何意義這個(gè)點(diǎn)上。
而AIME則要復(fù)雜一些，它著重于與多項(xiàng)式、數(shù)列、韋達(dá)定理、二項(xiàng)式定理等結(jié)合在一起考察，而且很容易出現(xiàn)高次項(xiàng)。比如如下的題目：
在具體解這個(gè)題目之前，我們看以下內(nèi)容（w≠1）：
以上，很容易看出來(lái)|w|=1，推到的方式都是用的等比數(shù)列求和公式。
記住第一個(gè)公式，以及相應(yīng)它的變形，因?yàn)橐院竽銜?huì)經(jīng)常用到。
以上題目經(jīng)過(guò)變形為：
到這里之后，可以有多種處理方法，比如：
①兩邊同時(shí)取模，當(dāng)然需要對(duì)
兩邊也要取模，然后聯(lián)立求角度的值，想一下這是為什么？
②利用兩邊實(shí)部相等，虛部相等，然后列兩個(gè)式子，求角度的值；
③采用猜的形式，這個(gè)最簡(jiǎn)單，就是z^8,z^28只能是
這證明了S1，S2和S3應(yīng)該是x^3+C=0的三個(gè)跟，然后剩下的就很簡(jiǎn)單了，這是為什么呢？
這證明了S1，S2和S3應(yīng)該是x^3+C=0的三個(gè)跟，然后剩下的就很簡(jiǎn)單了，這是為什么呢？
大家可以進(jìn)行思考 |
