2019年美國數(shù)學邀請賽（AIME）第二試即將在3月22號開考，題型為15道解答題，答案均為0到999之間的整數(shù)，考試時間三個小時，試題新穎別致，內(nèi)容廣泛，靈活性極強，而且其背后蘊藏著不同的數(shù)學思想，具有很強的延展性。相比較國內(nèi)高中數(shù)學聯(lián)賽，它少了各種花里胡哨的解題技巧，返璞歸真地考察那些最為基本但又容易被忽視其背后蘊含著深厚的原理的知識，這一點對于國內(nèi)學生很不友好，因為我們長期接受的數(shù)學競賽大多是灌輸型教育，極端強調(diào)技巧，仿佛要把數(shù)學玩出花兒一般。
從A卷的情況，我們可以大致看出今年的AIME考察方向。A卷的15道題中有5到幾何題，而且都是平面幾何，所涉及的考點也是最為常見的全等相似，圓冪定理、托勒密定理、三角形面積公式、正余弦定理等，但其背后蘊含著較為復(fù)雜的幾何問題，例如2018年B卷第14題考察的射影幾何中的帕斯卡定理的對偶定理——布列安桑定理，2019年A卷第14題考察的Harmonic Bundles Lemma。往往這類題都可以用初中幾何知識求解，但如果深入研究下去，就會發(fā)現(xiàn)一個全新的世界。
如果分析2000-2018年的所有AIME真題，不難發(fā)現(xiàn)，以往的代數(shù)占半邊天的時代已經(jīng)過去了，帶著并不意味這代數(shù)的地位下降了，要知道，組合、幾何、數(shù)論題，化到最后，都變成了代數(shù)求解，因此，對于學生的代數(shù)基本功要求更嚴了。而直接考察代數(shù)的題目，也往往不會順著學生的思維來出題。一個公式的應(yīng)用，可以是左邊等于右邊，同樣的也可以是右邊等于左邊。
相較于代數(shù)幾何，數(shù)論的考點則要固定得多，初等數(shù)論四大基本定理?？嫉挠腥齻€：費馬小定理、歐拉定理、中國剩余定理，而且往往是追根溯源地去挖掘這些定理或運算的本質(zhì)，不單單是定理的應(yīng)用。而這些本質(zhì)又來源于學生對于整除和同余的理解。
組合固定的知識點很少，然而組合題卻一貫是國人的心頭刺，是因為它的變化莫測。所謂萬物皆可組合，同其它知識點聯(lián)系起來時，往往會發(fā)生一些莫名其妙的變化，其計數(shù)過程的繁瑣又體現(xiàn)了數(shù)學思維的嚴謹，正所謂“缺一不可”，其分類討論的思想又對學生的構(gòu)造能力和創(chuàng)造性思維提出了要求，分類的正確性和完備性直接決定了你能否做出來以及能否簡單地做出來。但是，萬變不離其宗，AIME中的組合題基本考法也就這幾種：互補計數(shù)（正難則反），對稱計數(shù)（逆向思維），一一對應(yīng)（構(gòu)造其他等價問題），最后實在不行就分類討論。
以上是關(guān)于四大板塊的常見考法，（復(fù)數(shù)和三角歷年考察不多，而且基本都圍繞著公式的變形和定理考察），以下是知識點：
