AMC 10&12 已經(jīng)落下了帷幕，通過(guò)AIME成功進(jìn)入美國(guó)國(guó)家隊(duì)，征戰(zhàn)IMO，走向人生巔峰的機(jī)會(huì)又來(lái)了！誒等等，我們好像是中國(guó)內(nèi)地的，美國(guó)國(guó)家隊(duì)不收……無(wú)論如何，都進(jìn)了AIME，至少還是要去考一下的。這幾期的公眾號(hào)，我們（/我自己）就來(lái)為AIME作一些準(zhǔn)備~

在這一期中，我們主要來(lái)介紹AIME的特點(diǎn)，并熟悉真正的考試形式。

AIME，全稱American Invitational Mathematics Examination（美國(guó)高中邀請(qǐng)賽），是一個(gè)較為高層次的比賽，在AMC中獲得優(yōu)異的成績(jī)才可獲取參賽資格，分?jǐn)?shù)直接與能否進(jìn)“營(yíng)”（即參加USAMO）掛鉤。簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，就是這樣：

我們中國(guó)學(xué)生參加AIME，需要注意與我們平時(shí)考試不同的小細(xì)節(jié)。

一、正式考試時(shí)間有3小時(shí)，題目由15道填空題組成，每題的答案都是一個(gè)000~999中的自然數(shù)。官方規(guī)則如下：

1. This is a 15-question, 3-hour examination. All answers are integers ranging from 000 to 999, inclusive. Your score will be the number of correct answers; i.e., there is neither partial credit nor a penalty for wrong answers.

（與AMC不同的是，這里錯(cuò)誤答案不會(huì)扣分，而且每題的答案還有一個(gè)固定的范圍，所以不管怎么樣每題都要猜個(gè)最有可能的答案。）

2. No aids other than scratch paper, graph paper, ruler, compass and protractor are permitted. In particular, calculators and computers are not permitted.

（非常有趣的是，尺、圓規(guī)、量角器都是可以攜帶的！這說(shuō)明作圖可以做到100%精確，因此AIME從來(lái)不出可以直接精確作圖量出來(lái)的題【即答案簡(jiǎn)潔，利用簡(jiǎn)單全等、相似可以算出的題】，這也是幾何方面對(duì)我們中國(guó)學(xué)生最大的困擾。）

二、為了方便閱卷，每題的答案都限定在[0,999]這個(gè)范圍內(nèi)，且都是整數(shù)。然而，實(shí)際上很多問(wèn)題的直接結(jié)果都并不是整數(shù)或不在范圍內(nèi)。這時(shí)候命題人會(huì)對(duì)其進(jìn)行一些小“包裝”，讓其變成滿足條件的答案。例如：

當(dāng)答案大于1000時(shí)，所求的變成了“答案除以1000的余數(shù)”；

當(dāng)答案為分?jǐn)?shù)時(shí)，所求的變成了“答案表示成最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)時(shí)為m/n，那么m+n的值為多少”；

當(dāng)答案為無(wú)理數(shù)時(shí)，所求的變成了“答案寫成m根號(hào)n時(shí)，n不含平方因子時(shí)，m+n的值為多少”。

總而言之，很重要的一點(diǎn)是：看清題目要求。審題！審題！審題！答案是a/b，求的可能是a+b，也可能是a，也可能是ab等等。當(dāng)我們辛苦地完成了一題的計(jì)算后，最后寫成題目要求的形式一定不能疏忽。

三、解題策略非常非常非常重要。首先我們要知道，通常情況下第1~5題比較簡(jiǎn)單（相對(duì)后面的題），第6~10題難度中等（偶爾會(huì)有一兩題比較有難度），第11~15題才是真正有區(qū)分度的。

對(duì)于我自己（可能是大部分同齡競(jìng)賽生）來(lái)說(shuō)，AIME的代數(shù)比起初中競(jìng)賽來(lái)都較為簡(jiǎn)單。美國(guó)不是非常重視代數(shù)，在近十年的AIME中，除了 整式變形、應(yīng)用題、等差等比數(shù)列、對(duì)數(shù)、復(fù)數(shù)、二次函數(shù)/方程 ，其它知識(shí)沒(méi)有任何存在感。困難的題目都是代數(shù)與其它知識(shí)結(jié)合的（幾何極值，組合遞推等等）。純代數(shù)題大部分都出現(xiàn)于1~10（一般只有2~3題），計(jì)算量可能稍大一些，但都是非常常規(guī)的題型。這些題目可以多花時(shí)間，要盡量拿下。舉幾個(gè)例子：

這是2017 AIME II 的第6題。直接配方或者不等式防縮都可以，熟練的一分鐘就可以搞定。

這是2017 AIME II的第7題。此題難度相比上一題稍微大一些，然而只是一個(gè)二次方程（log可以丟掉）根的分布（要使log有意義）而已。即使算兩遍，至多5分鐘也可以完成了。

這是2018 AIME I的第6題。注意一個(gè)常用套路：|z|=1等價(jià)于z=sina+icosa，隨后由條件可得sin720a-sin120a=0，和差化積可以得到兩個(gè)額三角函數(shù)之積為0，進(jìn)而得到答案。

這是2016 AIME II的第15題。放在最后一題的位置，這題難度卻并不高。我們發(fā)現(xiàn)，只要把左邊的x(i)*x(j)變成x(i)^2，那么這就變成關(guān)于x(i)^2與(1-a(i))的式子了。而a(i)之和又是固定的，很容易發(fā)現(xiàn)用柯西不等式。（當(dāng)然，放在15題屬于心理戰(zhàn)術(shù)了，只有少部分考生發(fā)現(xiàn)這題其實(shí)很簡(jiǎn)單……在AoPS上遭到無(wú)數(shù)考生吐槽。）

然而，中國(guó)學(xué)生的福音是代數(shù)，AIME偏偏不出代數(shù)，而出造福美國(guó)學(xué)生的東西——幾何。

一般，1~5題中的幾何比較簡(jiǎn)單；6~10題中的幾何對(duì)我來(lái)說(shuō)就已經(jīng)略為困難了。11~15題更是直接放棄。1~10幾何題的特點(diǎn)是：計(jì)算量大。一般都是以斯圖爾特定理、托勒密定理、正弦余弦定理為主，建議大家仔細(xì)算算。11~15必定會(huì)出的很困難。

這是2016 AIME II第10題，雖然我模擬考試的時(shí)候沒(méi)有完成，現(xiàn)在回頭看真心不難，不要被嚇壞。這種題目沒(méi)有什么捷徑，利用相交弦定理老老實(shí)實(shí)一條條設(shè)出來(lái)（多聯(lián)幾條線），最后找到一個(gè)四邊形用一下托勒密。

這是2018 AIME I 第4題，我模擬考試的時(shí)候沒(méi)像網(wǎng)友想那么多，簡(jiǎn)單粗暴地用余弦算，用時(shí)也不算長(zhǎng)。兩三角形共角的情況都可以用余弦bash。

這是2018 AIME I 第8題。前面提到考試可以帶圓規(guī)和直尺，所以“小聰明”的方法就是標(biāo)準(zhǔn)作個(gè)圖，找一下哪兩條邊之間距離最短，再算一算就可以啦！其實(shí)今年這題出得可以說(shuō)是非常有良心了，像某類小奧題。

組合、數(shù)論方面不像幾何、代數(shù)那么固定，每年難度差距很大。這里數(shù)論題出的非常少，所以我們關(guān)注組合題。它有一個(gè)非常厲害的套路（因?yàn)楸囟ǘ际怯?jì)數(shù)題）：枚舉！3小時(shí)的時(shí)間解15道題，放棄了4~5道題后至少也能花個(gè)20分鐘枚舉出一道組合題。要關(guān)心的是期望值，它對(duì)中國(guó)學(xué)生比較生僻。算期望值一般用列表法比較方便。AIME中很多組合題也需要用遞推，所以做組合題主要策略就是先找遞推，不行再枚舉。

為什么枚舉那么重要？看一位AoPS網(wǎng)友的親身體驗(yàn)：

On the AIME I this year, I solved 9 problems (1-8 & 11), but should've scored higher. You see, I had already these 9 problems solved after 1.5 hours, and spent another hour (saving the last 30 minutes for checking my work) jumping around the rest of the non-geo problems (9, 10, 12, 14) without getting any progress. I was expecting a 12, but due to my inability to do anything during that hour, I didn't even come close.

I wouldn't say that I was bad at combo; I simply just kept using the wrong approach to solving the problems for some reason. After the test, I noticed how easy those 4 problems I missed actually were, and managed to solve them (10 & 14 in particular could be solved by the method of tables, while I wasted time trying out simple recursion). 

綜上，我們的答題策略是：先完成1~5，再撿6~

15中的軟柿子——即代數(shù)題（或你擅長(zhǎng)的領(lǐng)域），再花時(shí)間bash一下6~15中的幾何題。再找一些組合題做（這里可能很耗時(shí)），最后一定要留30分鐘驗(yàn)算一下答案。驗(yàn)算很重要！很重要！很重要！我做一套Mock AIME的時(shí)候#1~#5沒(méi)有驗(yàn)算，于是就錯(cuò)了兩題……

說(shuō)了那么多，檢驗(yàn)效果的時(shí)間到了！歡迎大家嘗試——2018 Spring Mock AIME?。ㄟ@次終于從word變成latex了，驚不驚喜~）