首先，AMC和AIME都是數(shù)學(xué)競(jìng)賽選拔性的考試，是N級(jí)別考試中，知名度比較高的考試之一。
選拔性的考試和檢驗(yàn)性的考試區(qū)別很大，比如高考就是一個(gè)選拔性的考試，而會(huì)考是一個(gè)檢驗(yàn)性的考試；再比如SAT是一個(gè)選拔性的考試，而ACT則是一個(gè)檢驗(yàn)性的考試；賽車是一個(gè)選拔性的考試，而駕照考試則是一個(gè)檢驗(yàn)性的考試；學(xué)校里你選修的乒乓球體育課的期末考試是一個(gè)檢驗(yàn)性的考試，而奧運(yùn)會(huì)或者全運(yùn)會(huì)的乒乓球比賽則是選拔性的測(cè)驗(yàn)；很多職業(yè)類測(cè)試都是檢驗(yàn)性的考試，比如CFA、CPA、司法考試、其他的各種從業(yè)資格考試，升學(xué)相關(guān)的考試基本都是選拔性的考試。
既然是選拔性的考試，就要一層層選拔，越到上層，難度越大。同樣在AMC中獲得了130+的分?jǐn)?shù)，在AIME中可能就會(huì)產(chǎn)生8分和13分的區(qū)別；在AIME中的這種差異，如果都去參加USAMO考試，可能差異性就會(huì)變得更大。
所有選拔性的考試，考察的都是一種習(xí)慣。一方面，這種考試時(shí)間會(huì)非常緊張，而時(shí)間非常緊張的情況下，是靠你日積月累的習(xí)慣來(lái)完成考試，而非考前的臨陣磨槍。所以參加SAT、AMC、GRE、GMAT、LSAT、高考等，至少需要半年左右的準(zhǔn)備時(shí)間，如果基礎(chǔ)再差一些，則需要一年左右甚至更長(zhǎng)的準(zhǔn)備時(shí)間。
所以作為選拔性考試的AMC和AIME，跟學(xué)校里的考試就有本質(zhì)上的不同。比如以下題目：
How many obtuse triangles can you get if you choose 3 random vertices from a regular pentadecagon?（從正15邊形的頂點(diǎn)中選擇3個(gè)組成鈍角三角形，不同的選擇方法有多少種）
A. 105 B. 225 C. 315 D. 420 E. 520
(AMC-12-22；2021年清華大學(xué)自主招生-17)
在AP/IB/AL等國(guó)際課程體系，或者體制內(nèi)高中體系，學(xué)到排列組合這個(gè)章節(jié)，期末考試考察題目更多的是以純排列組合的題目為主，而這個(gè)題目還涉及到圓形、基本的不定方程的知識(shí)。選拔性考試，比如高考、競(jìng)賽，則容易考這種題目。
【解析】設(shè)三個(gè)頂點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的十五邊形的邊是r，s，t；則r+s+t=15；如果要求是鈍角三角形，則其中有個(gè)解必然是≥8，即另外兩個(gè)的和≤7，比如s+t≤7，根據(jù)擋板法，解為1+2+3+…+6=21；所以15*21=315。
如果以前沒(méi)有這種經(jīng)驗(yàn)，這種題在時(shí)間緊張的情況下，是非常陌生的，所以說(shuō)，要拿出至少半年的時(shí)間去夯實(shí)基礎(chǔ)、熟悉和熟練競(jìng)賽的類型、直至最后完全掌握。
那么AMC和AIME的不同點(diǎn)是什么呢？
第一個(gè)不同點(diǎn)是，AMC是選擇題，AIME是填空題，這就是最大的不同，這點(diǎn)不同，直接決定了做題方法的不同。選擇題是最容易做的一種題型，起碼有的選，而填空題，甚至更難的問(wèn)答題或者證明題就難度大一些。既然是選擇題，當(dāng)然有各種可以“投機(jī)取巧”的方法。比如特殊值法、代入法、觀察法等等。比如以下題目：
如果這是一道AMC題目，會(huì)如下（題號(hào)為第22題左右）：
22. Let G be the center of mass of triangle ABC, and we draw a line which crosses G, splitting △ABC into two parts I and II, then the ratio of the area of the two parts is________
A. Minimum is 3/4
B. Minimum is 3/5
C. Maximum is 4/3
D. Maximum is 5/4
E. Maximum is 7/4
如果是一道AIME題目，則會(huì)如下（題號(hào)為第9題左右）：
9. Let G be the center of mass of triangle ABC, and we draw a line which crosses G, splitting △ABC into two parts I and II, then the difference between the maximum and minimum of the ratio of the area of the two parts is m/n, where m and n are relatively prime. What is m+n?
顯然作為AIME題難度就會(huì)大很多，而作為AMC題目，我們則可以用特殊值法大體可以排除一些明顯的錯(cuò)誤選項(xiàng)。比如選擇等邊三角形；選擇等腰直角三角形；選擇過(guò)點(diǎn)G平行于不同底邊，直到可以把題目答案進(jìn)行排除。
第二個(gè)不同點(diǎn)是，AIME對(duì)數(shù)學(xué)技巧與各類能力要求更高，廣度和深度并重。哪怕考察同樣一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，AIME以及高級(jí)別的考試對(duì)同一個(gè)知識(shí)點(diǎn)的要求會(huì)更高，需要平時(shí)更多的訓(xùn)練，以及熟悉某些?？嫉念}型等。比如如下題目：
以下題目是AMC 12中對(duì)韋達(dá)定理（幾牛頓恒等式）考察最難的一道題：
以下這道題是對(duì)AIME中對(duì)韋達(dá)定理（牛頓恒等式）的一道題，可以算是AIME中這個(gè)知識(shí)點(diǎn)考察最難的一道題。整體來(lái)說(shuō)計(jì)算復(fù)雜。
我們可以看到，對(duì)于同一個(gè)知識(shí)點(diǎn)來(lái)說(shuō)，AMC的考察強(qiáng)調(diào)函數(shù)變換，更注重多個(gè)知識(shí)點(diǎn)的聯(lián)合應(yīng)用，廣度有，而深度不深，而AIME的考察廣度和深度并重，有些題目要探究到數(shù)學(xué)原理的本質(zhì)。
在AMC備考完成之后，在準(zhǔn)備AIME之前，需要在深度上進(jìn)行進(jìn)一步的備考準(zhǔn)備。
最后，小編奉上一圖，方便各位更加直觀感受AMC和AIME的知識(shí)點(diǎn)的異同點(diǎn)哦！
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