學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分為三個(gè)層次：
低級別考試考高分；中級學(xué)知識；高級學(xué)思維。
比如大家都在歐幾里得的《幾何原本》中浸潤過，但是只有少數(shù)人比如黎曼去思考球面幾何問題，所以黎曼幾何才會橫空出世，然后才有后人受其蔭庇，才有了相對論，然后才有了今天的GPS定位；對于高次方程解的問題，300多年無人解決，直到天才的伽羅瓦的群論方才完全解決，以至于群論極大的影響了物理和化學(xué)的進(jìn)展。這些開創(chuàng)性學(xué)科的出現(xiàn)，顯然是數(shù)學(xué)思維層面的提高，只有在思維層面，我們才能去發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造。
但是思維層面的提高，第一步仍然先是——獲得高分。這代表了你對數(shù)學(xué)的熱愛和潛能，因?yàn)槿绻B基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)都搞不定，對于需要?jiǎng)?chuàng)造性的東西，大概率你是沒有什么興趣和能力的。
這就回到特別底層的問題，對于專業(yè)方向的選擇，得熱愛，且有潛力，同時(shí)還得和你將來的職業(yè)發(fā)展方向相契合。
數(shù)學(xué)方向的Ability vs. Potential
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Ability：你學(xué)校的數(shù)學(xué)成績
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低Potential：AMC、歐幾里得、澳洲AMC
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中Potential：AIME、ROSS、Promys、DMM拿牌、ARML拿牌
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高Potential：SuMac、HMMT拿牌、PuMac拿牌、丘成桐銀牌以及以上、建模拿牌
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超高Potential：IMO拿牌、HMMT/PuMac金牌、丘成桐金牌、其他數(shù)學(xué)論文作者。
建模比賽：數(shù)學(xué)到底能解決什么實(shí)際問題？
我們先看一道很實(shí)際的問題，也是之前MCM很經(jīng)典的一道基礎(chǔ)習(xí)題：
首先關(guān)于橢圓的方程會在一些低potential的題目中考察，而斜橢圓方程則是中高potential競賽題目中才會考察的。但是如果做以下建模題目，則需要對橢圓以及斜橢圓方程有極大的認(rèn)知才會快速的處理問題：
據(jù)報(bào)道：2013年2月16日有一顆直徑大約50米的小行星與地球擦肩而過，小行星撞擊地球危險(xiǎn)可能再度引起公眾的關(guān)注。
要確定一顆小行星繞太陽運(yùn)行的軌道，需要在軌道平面內(nèi)建立以太陽為原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系，然后在不同時(shí)刻對小行星進(jìn)行觀測，以確定其軌道。已知在5個(gè)不同時(shí)刻對某顆小行星進(jìn)行了5次觀測，表A給出了相應(yīng)的觀測數(shù)據(jù)。
表A：某小行星的5次觀測數(shù)據(jù)（單位：天文單位）
注：一個(gè)天文單位等于地球到太陽的平均距離，即米。
你所要作的工作是：確定這顆小行星的軌道，如橢圓的半長軸、半短軸、半焦距、近日點(diǎn)、遠(yuǎn)日點(diǎn)，以及橢圓軌道的周長等。
評論：所運(yùn)用的數(shù)學(xué)模型非常簡單，是一個(gè)二次曲線的方程的簡單應(yīng)用，即Ax²+By²+Cxy+Dx+Ey+F=0，所以這道題目用待定系數(shù)法很容易把方程列出來。
由開普勒第一定律知，小行星的軌道為橢圓，現(xiàn)需要建立橢圓方程
以供研究。
天文學(xué)家確定小行星運(yùn)動(dòng)的軌跡時(shí)，他的依據(jù)是軌道上5個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)數(shù)據(jù)。由橢圓軌道屬于二次曲線，是一般方程。為了確定方程中的5個(gè)待定系數(shù)，需要將上述5個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入上面的方程,
將這一包含5個(gè)未知數(shù)的線性方程組，寫成矩陣的形式
求解這一線性方程組，即可得到曲線方程的系數(shù)。
求解轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程后的系數(shù)
為了知道小行星軌道的一些參數(shù)，還必須將二次曲線方程化為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程形式：
由于太陽的位置是小行星的一個(gè)焦點(diǎn)，這時(shí)可以根據(jù)橢圓的長半軸a和短半軸b計(jì)算出小行星的近日點(diǎn)和遠(yuǎn)日點(diǎn)距離，以及橢圓周長L.
根據(jù)二次曲線理論，可得橢圓經(jīng)過旋轉(zhuǎn)和平移兩種變換后的方程如下：
剩余的內(nèi)容就可以利用軟件來求具體值即可了。
利用matlab軟件求解：
首先由5個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)數(shù)據(jù)形成線性方程組的系數(shù)矩陣 ：
求：
X0=[5.764 6.286 6.759 7.168 7.408];
Y0=[0.648 1.202 1.823 2.526 3.360];
A=zeros(5);X0(1);
for i=1:5
A(i,1)=X0(i)^2;
A(i,2)=2*X0(i)*Y0(i);
A(i,3)=Y0(i)^2;
A(i,4)=2*X0(i);
A(i,5)=2*Y0(i);
end;
A
得：A =
33.2237 7.4701 0.4199 11.5280 1.2960
39.5138 15.1115 1.4448 12.5720 2.4040
45.6841 24.6433 3.3233 13.5180 3.6460
51.3802 36.2127 6.3807 14.3360 5.0520
54.8785 49.7818 11.2896 14.8160 6.7200
又知A*X=B，求解B:
B=[-1 -1 -1 -1 -1]';X=A\B
得：
X'=[0.0508 -0.0351 0.0381 -0.2265 0.1321]
即（a1，a2，a3，a4，a5）= （0.0508，-0.0351，0.0381，-0.2265，0.1321）
然后求C、D
for i=1:5
a(i)=X(i);
end
C=[a(1) a(2);a(2) a(3)]
det(C)
得 C =
0.0508 -0.0351
-0.0351 0.0381
丨C丨= 7.0286e-004
求特征值:
[v d]=eig(C,'nobalance')
得d =
0.0088 0
0 0.0801
所以特征值λ1=0.0088 ，λ2=0.0801 .
求D
D=[a(1) a(2) a(3);a(2) a(3) a(5); a(4) a(5) 1]
det(D)
得
D =
0.0508 -0.0351 0.0381
-0.0351 0.0381 0.1321
-0.2265 0.1321 1.0000
丨D丨= 0.0010
于是，橢圓長半軸a=12.7158，短半軸b=4.2147，半焦距c=11.9970 。小行星近日點(diǎn)距離和遠(yuǎn)日點(diǎn)距離分別為 h=a-c=0.7188 和 H=24.7128 。
最后，計(jì)算離心率、面積、周長：
c=11.9970;
e=c/12.7158,
S=pi*12.7158*4.2147,
L=2*pi*12.7158*(1-e^2/4-3*e^4/64)
得
離心率 e =0.9435
面積 S =168.368
周長 L =59.1487
橢圓方程為：
離心率：e=0.9435 ；
面積：S=168.3683 ；
周長：L=59.1487 。
對于這道入門級別的建模題，不需要非常強(qiáng)的數(shù)學(xué)知識，但是方程組思想、轉(zhuǎn)化思想、矩陣的基礎(chǔ)知識以及基本的軟件使用都需要熟練掌握。
