這道題對(duì)于沒(méi)有系統(tǒng)學(xué)過(guò)數(shù)論的學(xué)生而言乍一看很難，有些同學(xué)只看到題目的表面幾乎就打了退堂鼓。然而實(shí)際上這是一道非常簡(jiǎn)單的題目。

它的整個(gè)過(guò)程是對(duì)數(shù)論中常見(jiàn)方法無(wú)窮遞降法的簡(jiǎn)單應(yīng)用。無(wú)窮遞降法是由數(shù)論公理之中的最小數(shù)存在原理推導(dǎo)得出的一種實(shí)用方法。所謂最小數(shù)存在原理就是說(shuō)正整數(shù)集的非空子集必存在最小數(shù)。那么如果某個(gè)正整數(shù)集的子集不存在最小數(shù)，該子集一定為空集。無(wú)窮遞降法就是應(yīng)用這一原理來(lái)證明問(wèn)題無(wú)解。

知道這一原理并進(jìn)行過(guò)對(duì)應(yīng)訓(xùn)練的同學(xué)只需要對(duì)本題進(jìn)行非常簡(jiǎn)單的奇偶性討論就可以在五分鐘內(nèi)做完這道題。

這道題的數(shù)學(xué)背景則更加耳熟能詳，是簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單的第二數(shù)學(xué)歸納法。

數(shù)學(xué)歸納法在數(shù)論的系統(tǒng)教學(xué)中被作為公理直接給出。前兩問(wèn)只需要進(jìn)行簡(jiǎn)單的整除分析作為數(shù)學(xué)歸納法的起始條件，后面的三四兩問(wèn)其實(shí)就是數(shù)學(xué)歸納法的遞推過(guò)程。

整道題目與其說(shuō)是在考試倒不如說(shuō)是在教學(xué)。

2013 年第五題考察的是 BEZOUT 定理與反證法的綜合應(yīng)用。

這道題的最后一問(wèn)用最簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)給出了一個(gè)同樣簡(jiǎn)單但深刻的結(jié)論：如果 r 是正有理數(shù)，并且 r 的 r 次方也是正有理數(shù)，那么 r 一定是正整數(shù)。

2012年第八題考察斐波那契數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用。

具體的性質(zhì)在問(wèn)題中給出，對(duì)于學(xué)競(jìng)賽的同學(xué)來(lái)說(shuō)考察的是常見(jiàn)性質(zhì)。最后一問(wèn)則是一道數(shù)列類(lèi)型的題目。本題屬于數(shù)論與數(shù)列的綜合題。

我們對(duì)比一下全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽的考試大綱：

不難發(fā)現(xiàn)，考察的內(nèi)容基本出現(xiàn)在考綱當(dāng)中?？季V里有一些 STEP 3 內(nèi)從來(lái)沒(méi)有考察過(guò)的內(nèi)容。但是我們不能下結(jié)論說(shuō) STEP 3 不考察沒(méi)有出現(xiàn)過(guò)的內(nèi)容。因?yàn)?nbsp;STEP 3 考察數(shù)論的邏輯就是要考察深刻的、具有很強(qiáng)數(shù)學(xué)背景的內(nèi)容。而且幾乎沒(méi)有任何拓展，就是對(duì)方法本身的最基本的理解。而聯(lián)賽考綱幾乎囊括了所有具有深刻數(shù)學(xué)意義的數(shù)論內(nèi)容。

對(duì)于STEP考試中的數(shù)論題目，我認(rèn)為考生只要對(duì)聯(lián)賽考綱當(dāng)中的每一塊內(nèi)容有最基本的了解，做過(guò)一兩道對(duì)應(yīng)的習(xí)題，那么 STEP 3 考試當(dāng)中的數(shù)論題目很可能成為你的送分題。因?yàn)楦咧须A段具有深刻數(shù)學(xué)意義的數(shù)論題目本身范圍就是局限的，很容易全部掌握。而對(duì)于沒(méi)有系統(tǒng)學(xué)過(guò)數(shù)論的同學(xué)來(lái)說(shuō)，挑戰(zhàn)這樣的題目意味著在短時(shí)間內(nèi)掌握一種新的方法乃至思想，對(duì)于考試而言是非常不劃算的。