這道題對于沒有系統(tǒng)學過數(shù)論的學生而言乍一看很難，有些同學只看到題目的表面幾乎就打了退堂鼓。然而實際上這是一道非常簡單的題目。

它的整個過程是對數(shù)論中常見方法無窮遞降法的簡單應用。無窮遞降法是由數(shù)論公理之中的最小數(shù)存在原理推導得出的一種實用方法。所謂最小數(shù)存在原理就是說正整數(shù)集的非空子集必存在最小數(shù)。那么如果某個正整數(shù)集的子集不存在最小數(shù)，該子集一定為空集。無窮遞降法就是應用這一原理來證明問題無解。

知道這一原理并進行過對應訓練的同學只需要對本題進行非常簡單的奇偶性討論就可以在五分鐘內(nèi)做完這道題。

這道題的數(shù)學背景則更加耳熟能詳，是簡簡單單的第二數(shù)學歸納法。

數(shù)學歸納法在數(shù)論的系統(tǒng)教學中被作為公理直接給出。前兩問只需要進行簡單的整除分析作為數(shù)學歸納法的起始條件，后面的三四兩問其實就是數(shù)學歸納法的遞推過程。

整道題目與其說是在考試倒不如說是在教學。

2013 年第五題考察的是 BEZOUT 定理與反證法的綜合應用。

這道題的最后一問用最簡單的數(shù)學給出了一個同樣簡單但深刻的結論：如果 r 是正有理數(shù)，并且 r 的 r 次方也是正有理數(shù)，那么 r 一定是正整數(shù)。

2012年第八題考察斐波那契數(shù)列的性質(zhì)應用。

具體的性質(zhì)在問題中給出，對于學競賽的同學來說考察的是常見性質(zhì)。最后一問則是一道數(shù)列類型的題目。本題屬于數(shù)論與數(shù)列的綜合題。

我們對比一下全國高中數(shù)學聯(lián)賽的考試大綱：

不難發(fā)現(xiàn)，考察的內(nèi)容基本出現(xiàn)在考綱當中?？季V里有一些 STEP 3 內(nèi)從來沒有考察過的內(nèi)容。但是我們不能下結論說 STEP 3 不考察沒有出現(xiàn)過的內(nèi)容。因為 STEP 3 考察數(shù)論的邏輯就是要考察深刻的、具有很強數(shù)學背景的內(nèi)容。而且幾乎沒有任何拓展，就是對方法本身的最基本的理解。而聯(lián)賽考綱幾乎囊括了所有具有深刻數(shù)學意義的數(shù)論內(nèi)容。

對于STEP考試中的數(shù)論題目，我認為考生只要對聯(lián)賽考綱當中的每一塊內(nèi)容有最基本的了解，做過一兩道對應的習題，那么 STEP 3 考試當中的數(shù)論題目很可能成為你的送分題。因為高中階段具有深刻數(shù)學意義的數(shù)論題目本身范圍就是局限的，很容易全部掌握。而對于沒有系統(tǒng)學過數(shù)論的同學來說，挑戰(zhàn)這樣的題目意味著在短時間內(nèi)掌握一種新的方法乃至思想，對于考試而言是非常不劃算的。