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MAT考試，全稱(chēng)為Mathematics Admission Test。如果學(xué)生有志向要申請(qǐng)牛津大學(xué)本科的數(shù)學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)、哲學(xué)、心理學(xué)和相關(guān)交叉學(xué)科的專(zhuān)業(yè)，必須要參加該測(cè)試，是考察學(xué)生數(shù)學(xué)綜合能力的一個(gè)重要指標(biāo)。MAT考試的一大特點(diǎn)就是，旨在測(cè)試學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)理解的深度，而不是知識(shí)的廣度。 （MAT輔導(dǎo)課程詳情咨詢(xún)：X-NEW999）
MAT考試一般于每年的 9 月開(kāi)始報(bào)名、10 月中旬報(bào)名截止、11 月初考試。其考試成績(jī)不會(huì)被直接公布或標(biāo)記是否“通過(guò)”，而是直接發(fā)往考生注冊(cè)考試時(shí)填寫(xiě)的申請(qǐng)?jiān)盒?，根?jù)測(cè)試中的相關(guān)信息來(lái)確定是否入圍。
可以說(shuō)，MAT 成績(jī)的高低是牛津大學(xué)篩選面試學(xué)生和確認(rèn)最終錄取名單的重要衡量標(biāo)準(zhǔn)。那么MAT考試應(yīng)該如何備考？MAT考試中策略性問(wèn)題應(yīng)該如何作答？
雖然策略性問(wèn)題在自主招生考試中扮演著十分重要的角色，但有趣的是，這類(lèi)問(wèn)題并不總是直接了當(dāng)?shù)乇砻髯约菏遣呗灶?lèi)問(wèn)題，而是悄悄把自己偽裝好等待你的發(fā)現(xiàn)。
下面，我們來(lái)通過(guò)幾道MAT考試真題詳細(xì)為大家展開(kāi)講解，比如 2022 年 MAT 中的第 5 題壓軸題??
本題除了最后一問(wèn)之外，其他小問(wèn)都是構(gòu)造問(wèn)題。類(lèi)似于小學(xué)競(jìng)賽中找到有一種情況滿(mǎn)足題意。
而最后一問(wèn)就非常有趣了，題意大致可以整理如下??
Q：有六扇門(mén)一字排列，門(mén)后有六個(gè)不同的禮物。Alice 每次可以選擇一扇門(mén)打開(kāi)，并看到某一件禮物。每看到一件禮物之后，主持人都會(huì)把 Alice 看到的禮物和旁邊一扇門(mén)后的禮物交換位置。最終凡是被 Alice 看見(jiàn)的禮物都會(huì)送給 Alice。如果 Alice 能選擇開(kāi)門(mén)的次數(shù)不受限制。那么 Alice 能否確保拿走所有禮物？
如果只是將本題當(dāng)作一道數(shù)論或者組合的常規(guī)題目，那無(wú)疑會(huì)讓你頭疼不已，因?yàn)檫@個(gè)問(wèn)題其實(shí)是一道策略博弈問(wèn)題。而且游戲的參與者除了 Alice 之外，還有主持人。事實(shí)上，Alice 無(wú)法確保拿到 3、4 號(hào)門(mén)之一后面的禮物。
我們把主持人也當(dāng)作游戲的參與者，那么如果 Alice 選擇在 1、2 中開(kāi)門(mén)，主持人只需交換 1、2 門(mén)后禮物的位置，選擇 5、6 同理。如果在 3、4 號(hào)門(mén)中，Alice 先選擇了 3 號(hào)門(mén)，此時(shí)我們可以假定主持人能夠看穿 Alice 后面的所有選擇。
如果忽略掉 Alice 選 1、2、5、6的情形（若選了按上述操作執(zhí)行即可），若下一次 Alice 選擇中間兩扇門(mén)時(shí)將會(huì)選 3 號(hào)門(mén)，那本次 4 號(hào)門(mén)位置不變；若下一次 Alice 選擇中間兩扇門(mén)中的 4 號(hào)門(mén)，那本此把 3、4 號(hào)門(mén)后的禮物調(diào)換。后面情況以此類(lèi)推，主持人可以保證 Alice 永遠(yuǎn)拿不到 4 號(hào)門(mén)后的禮物。
因此，Alice 永遠(yuǎn)無(wú)法確保拿到六扇門(mén)后面的所有禮物。
本題的難點(diǎn)在于辨認(rèn)出這是一道必勝策略問(wèn)題而非數(shù)論組合問(wèn)題。一旦發(fā)現(xiàn)它的本來(lái)面目，那么解決這個(gè)問(wèn)題就變得非常簡(jiǎn)單。
但有時(shí)，我們要發(fā)現(xiàn)策略問(wèn)題其實(shí)是一道數(shù)論組合問(wèn)題，比如清華大學(xué) 10 年的自主招生考察了這樣一道題目??
Q：比賽開(kāi)始后，12 個(gè)人每人的頭上將會(huì)帶一頂帽子。這些帽子分別是紅、黃、紫、藍(lán)四種顏色之一。每個(gè)人能看到別人頭上帽子的顏色，而看不到自己頭上帽子的顏色。比賽開(kāi)始前，12 個(gè)人可以商量出一種策略，以保證比賽開(kāi)始后，12 個(gè)人可以依次說(shuō)出自己頭上帽子的顏色，并盡量讓每個(gè)人都說(shuō)對(duì)的概率最大。請(qǐng)問(wèn)這個(gè)最大值是多少？
本題看似是一個(gè)策略問(wèn)題，但其實(shí)是一道數(shù)論問(wèn)題。
由于第一個(gè)人報(bào)顏色的時(shí)候沒(méi)有任何其他信息，所以他說(shuō)對(duì)的概率就是 1/4，因此可以推斷出全部說(shuō)對(duì)的概率不會(huì)超過(guò) 1/4。
我們可以把 4 種顏色看作是摸 4 的四個(gè)余數(shù) 0、1、2、3。紅對(duì)應(yīng) 0，黃對(duì)應(yīng) 1，紫對(duì)應(yīng) 2，藍(lán)對(duì)應(yīng) 3。
讓第一個(gè)人報(bào)出其他十一個(gè)人帽子上數(shù)字加和除以 4 的余數(shù)。除了第一個(gè)人之外，所有人都能看到第一個(gè)人帽子的顏色。于是剩余的 11 個(gè)人都能知道 12 個(gè)人帽子上數(shù)字的總和除以 4 的余數(shù)，再加上他們本來(lái)就能看到的除了自己之外其他人帽子上數(shù)字總和除以 4 所得的余數(shù)。因此，就可以推出自己帽子上的數(shù)字，進(jìn)而知道自己帽子的顏色。
所以，本題其實(shí)是一道由數(shù)論知識(shí)尋找最優(yōu)策略的問(wèn)題，該題的結(jié)果是 1/4。
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